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\(\int x^3e^x^^^2dx=x^3\: \frac{e^{2x}}{2}-\int 3x^2\: \frac{e^{2x}}{2}dx=\frac{e^{2x}x^3}{2}-\int \frac{3e^{2x}x^2}{2}dx\)
Pegando na integral:
\(\int \frac{3e^{2x}x^2}{2}dx=\frac{3}{2}\int e^{2x}x^2dx
=\frac{3}{2}\left ( x^2\: \frac{e^{2x}}{2}-\int 2x\: \frac{e^{2x}}{2}dx \right )=\frac{3}{2}\left ( \: \frac{e^{2x}x^2}{2}-\int e^{2x}x\: dx \right )
=\frac{3}{2}\left ( \: \frac{e^{2x}x^2}{2}-\left ( \frac{e^{2x}x}{2}-\int \frac{e^{2x}}{2}dx \right ) \right )=\frac{3}{2}\left ( \: \frac{e^{2x}x^2}{2}-\left ( \frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx \right ) \right )
=\frac{3}{2}\left ( \: \frac{e^{2x}x^2}{2}-\left ( \frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{2}\int e^u\frac{1}{2}du \right ) \right )=\frac{3}{2}\left ( \: \frac{e^{2x}x^2}{2}-\left ( \frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{2}\int e^udu \right ) \right )
=\frac{3}{2}\left ( \: \frac{e^{2x}x^2}{2}-\left ( \frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4} e^{2x} \right ) \right )
=\frac{3}{2}\left ( \: \frac{e^{2x}x^2}{2}- \frac{e^{2x}x}{2}+\frac{ e^{2x}}{4} \right )\)
Substituindo na expressão:
\(\int x^3e^x^^^2dx=\frac{e^{2x}x^3}{2}-\frac{3}{2}\left ( \: \frac{e^{2x}x^2}{2}- \frac{e^{2x}x}{2}+\frac{ e^{2x}}{4} \right )\)
Junta-se uma constante e tem-se a solução.
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