Fórum de Matemática
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Ao meio dia o barco A está 64km a oeste do barco B. O barco A navega para leste a 20km/h e o barco B para norte a 25km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os barcos às 13:52?

Já consegui resolver alguns exercícios de taxa de variação, sei que tenho que relacionar as variáveis de alguma forma para então derivá-las, mas quanto a esse exercício em específico eu estou perdido, não sei como proceder, alguma luz?

Olá, para resolver este exercício eu vou aplicar alguns conhecimentos de Física mas que não deixa ser Matemática. Nós podemos desenhar o gráfico posição tempo dos dois barcos, usando equações paramétricas. Não é necessário a utilização, mas é mais fácil de se entender depois.

Para o Barco A podemos colocar a seguinte equação. Ele vai começar na origem (0,0) e como só ruma para leste vai apenas se movimentar ao longo do eixo dos x com uma velocidade constante. Vou colocar a velocidade em km/min para se resolver melhor o exercício.

\(A(t)=\begin{cases} x(t)= \frac{20}{60}t& \\ y(t)=0 & \end{cases}\)

Para o Barco B, começa no ponto (0,64) já que dista 64km do Barco A. Como vai para norte, apenas se vai movimentar no eixo dos y.

\(B(t)=\begin{cases} x(t)= 64& \\ y(t)=\frac{25}{60}t & \end{cases}\)

O que isto quer dizer que para t minutos.

\(A(t)=(\frac{20}{60}t,0)
B(t)=(64,\frac{25}{60}t)\)

Seja d(t) a função para qual a distância entre os dois barcos varia:
\(d(t)=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}=\sqrt{\left (64-\frac{20}{60}t \right )^2+\left ( \frac{25}{60}t-0 \right )^2}\)

Às 13:52 passaram 112 minutos do meio dia. Sendo assim a taxa de variação será igual a:

\(\lim_{h\rightarrow 0}\left ( \frac{d(112+h)-d(112)}{h} \right )\)

Que corresponde a \(d'(112)\)

A derivada da raiz quadrada é o mesmo que:
\((\sqrt{u})'=(u^{1/2})'=\frac{1}{2}\cdot u^{1/2-1}\cdot u'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)

\(u=\left (64-\frac{20}{60}t \right )^2+\left ( \frac{25}{60}t-0 \right )^2=\frac{41t^2}{144}-\frac{128t}{3}+4096\)

\(d't=\frac{(\frac{41t^2}{144}-\frac{128t}{3}+4096)'}{2\sqrt{\frac{41t^2}{144}-\frac{128t}{3}+4096}\)

\(d'(t)=\frac{41t-3072}{12\sqrt{41t^2-6144t-589824}}\)

\(d'(112)=0,1964 km/min\)

Se todos os cálculos estiverem corretos, às 13:52 a taxa de variação será 0,1964 km/min

Hmmm... eu nunca vi equações paramétricas, mas acho que entendi o raciocínio, porém isso me despertou algumas dúvidas, a taxa de variação da distância não teria que ser dada em Km/h? (Ou Km/min no caso da sua resolução). Até pq o resultado da questão aqui é -1km/h.

Sim, como é uma variação em função de t, tempo, terá que ficar km/min. Tem toda a razão.
Mas se o resultado deu -1km/h não está de acordo com a minha resolução. Até porque nesse caso a distância estaria a diminuir às 13:52.

O que tentei fazer, foi criar coordenadas no plano cartesiano do barco A e do barco B que vai variando ao longo do tempo. E a função da distância é retirada da distância entre dois pontos no plano. Assim pela função à qual cheguei a distância diminui até passados cerca de 75 minutos. Ou seja a derivada da função é negativa até t=75 para o qual neste ponto é nula. Assim a distância seria mínima às 13:15.

Vou rever toda a minha resolução ver se algo está errado. Conto com a sua ajuda

Obs: Estive até a fazer uns cálculos, e a derivada da função distância apresentaria resultado -1km/h, ou seja, -1/60 km/min passados exatamente 72 minutos: t=72, o que seria às 13:12.

Pedro eu consegui! Haha! Primeiro eu calculei o quanto eles iriam andar num determinado período de tempo (1,2h), depois eu usei Pitágoras no triângulo formado e derivei o teorema hehe :P Vlw mesmo pela ajuda!
PS: eu ia fechar esse tópico mais cedo, mas tinha que agradecer e não estava mostrando a opção "responder" antes aqui, só agora voltou.

1,2h? Isso seria 13:12 e não às 13:52 ?

Agora que vi... coloquei o enunciado errado. Sua resolução estava correta afinal, as informações que eu dei que foram equivocadas. :O