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Posso estar errado, mas penso que haja uma gralha no enunciado. Deveria ser \(y(1)=e\) e \(y'(1)=e/2\) em vez de \(y(0)=e\) e \(y'(0)=e/2\) (ou então, pedir em séries de potências em torno do ponto x=0).
Considere que y é analítica numa vizinhança do ponto x=1 (na verdade isso é consequência da própria equação diferencial). Então podemos escrever y como uma série de potências: \(y=\sum_{n=0}{\infty}a_n(x-1)^n\).
Temos então, \(y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}(x-1)^n\) (exercício), \((x-1)y=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}(x-1)^n\) (exercício) e \(e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n\) (exercício).
Assim sendo, da equação \(y''+(x-1)y=e^x\) tiramos o sistema (infinito) de equações lineares:
\(2a_2=e\) (corresponde o termo de ordem n=0 das séries, note que a série respeitante a (x-1)y só começa no termo n=1)
\(6a_3+a_0=e\) (corresponde o termo de ordem n=1 das séries)
\(12a_4+a_1=\frac{e}{2}\) (corresponde o termo de ordem n=2 das séries)
\(20a_5+a_2=\frac{e}{3!}\) (n=3)
\(30a_6+a_3=\frac{e}{4!}\) (n=4)
... (demais equações que não serão necessárias para o pretendido)
Agora é só resolver o sistema (é aqui que vamos usar os dados \(a_0=y(1)=e\) e \(a_1=y'(1)=e/2\)) para obter os 6 primeiros termos da série.
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