Fórum de Matemática
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Podem me ajudar?

Uma equação diferencial da forma \(M dx + N dy = 0\) diz-se exacta se \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\). Nesse caso é possível encontrar uma função \(\Psi\) tal que \(\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N\) e as soluções da equação diferencial são dadas na forma implitica por \(\Psi = C\).

Quando a equação \(M dx + N dy = 0\) não é exacta mas \(\mu M dx + \mu N dy = 0\) já é exacta, dizemos que \(\mu\) é um factor integrante. Assim, para verificar se \(\mu\) é factor integrante basta verificar se \(\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) = \frac{\partial}{\partial x} (\mu N)\).

Consegue aplicar ao seu caso?

Entendi! Consegui verificar o fator de integração.
Poderia me ajudar na solução geral?

Já depois de multiplicar pelo factor integrante, ficamos com a a equação

\(\frac{y}{x^2-y^2} dx + \frac{x^2-xy-y^2}{y(x^2-y^2)} = 0\)

A função \(\Psi\) pode ser encontrada por primitivação...

\(\frac{\partial \Psi}{\partial x} = \frac{y}{x^2-y^2}\Rightarrow \Psi = \int \frac{y}{x^2-y^2} dx = \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + f(y)
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \frac{x^2-xy-y^2}{y(x^2-y^2)} \Rightarrow \Psi = \int \frac{x^2-xy-y^2}{y(x^2-y^2)} dy = \ln|y| + \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + g(x)\)

Comparando as duas expressões alternativas para \(\Psi\) concluímos que \(\Psi = \ln|y| + \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + C\), pelo que as solução da equação diferencial são dadas, na forma implicita pela equação

\(\ln|y| + \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| = K\)




Cálculos auxiliares:

\(\int \frac{y}{x^2-y^2}dx = \frac 12 \int \left(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}\right) dx = \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + C\)

\(\int\frac{x^2-xy-y^2}{y(x^2-y^2)}dy = \int \left( \frac 1y - \frac{x}{x^2-y^2}\right)dy = \int\left( \frac 1y +\frac{\frac 12}{x-y} - \frac{\frac 12}{x+y}\right) dy =\ln|y| + \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + C\)