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| Calcular as curvas ortogonais a familia https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=10555 |
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| Autor: | jearaujo01 [ 03 mar 2016, 19:32 ] |
| Título da Pergunta: | Calcular as curvas ortogonais a familia |
Olá, podem me ajudar? Calcule as trajetórias ortogonais à família a um parâmetro \(x^3 - 3xy^2 + x + 1 = c\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 04 mar 2016, 23:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular as curvas ortogonais a familia |
A família dada é formada pelas curvas de nível da função escalar definida por \(f(x,y)=x^3 - 3xy^2 + x + 1\). Sendo assim, uma trajectória \(\gamma(t)\) que seja ortogonal a esta curvas será tangente ao campo gradiente de \(f\). Portanto qualquer trajectória \(\gamma(t)=(x(t),y(t))\) terá de satisfazer o sistema de equações diferenciais \(\gamma'(t)=\nabla f(\gamma(t))\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x'=3x^2-3y^2+1\\y'=-6xy\end{array}\right.\). A dificuldade agora é resolver o sistema (que não é linear). De momento não estou a ver como resolvé-lo. |
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| Autor: | Sobolev [ 08 mar 2016, 16:57 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Calcular as curvas ortogonais a familia | ||
Pode usar as condições de Cauchy-Riemann. Se considerar uma função complexa, diferenciável, escrita da forma \(f = u + iv\), ela vai verificar as condições de Cauchy-Riemann e as curvas de nível de u e v são ortogonais. Se tomar \(u = x^3-3xy^2+x-1\), verá que pode escolher \(v = 3x^2y-y^3+y\). As trajectórias ortogonais são então dadas na forma implicita por \(3x^2y-y^3+y = c\).
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| Autor: | jearaujo01 [ 09 mar 2016, 17:36 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Calcular as curvas ortogonais a familia | ||
E resolvendo dessa forma, tem coerência?
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| Autor: | Rui Carpentier [ 09 mar 2016, 19:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular as curvas ortogonais a familia |
Boa Sobolev, não passou essa pela cabeça mas é bem visto. De facto, as condições de Cauchy-Riemann implicam a ortogonalidade dos campos gradiente das funções \(u\) e \(v\) (logo a ortogonalidade das suas curvas de nível). jearaujo01 posso estar a ver mal mas há alguma coisa errada na sua resolução, uma vez que \(y-y^3=C\) não define uma curva. |
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| Autor: | jearaujo01 [ 09 mar 2016, 19:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular as curvas ortogonais a familia |
Já encontrei meu erro. Resolvi pelo método da equação exata para EDO e cheguei ao resultado. Obrigada pela ajuda!! |
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