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Como resolver esta equação com derivada implícita?


\(y=\sqrt[3]{1+tan^2(x)}\)

Aí não há nem derivadas, nem alguma coisa implícita.

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É uma equação, sim, mas não para resolver: a equação define uma função (explicitamente).

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O enunciado diz o seguinte:
Usando a derivação implícita, obtenha dy/dx se \(y=\sqrt[3]{1+tan^2(x))}\)

Ah, então, pelos vistos, é preciso calcular a derivada da função. Só que a função é explícita.

Se a função é definida por uma equação de tipo F(x, y) = 0, diz-se implícita, já que não temos fórmula nenhuma para calcular y se for dado x. Se a equação tiver a forma y = f(x), diz-se uma função explícita. Estes termos não caracterísam a função própria, mas sim o método de definição.

Para calcular a derivada nesse caso, basta usar as fórmulas comuns, principalmente a regra da cadeia.

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Muito obrigado! Só mais uma dúvida.. o y como fica na derivada, ele participa do cálculo ou derivo somente o que tem depois do y?

Tem como só começar ela p/ eu ter uma idéia?

y é a mesma coisa que o lado direito. É o nome da função definida pelo lado direito. Por exemplo, se a equação fosse \(y = x^2\), y era o nome da função «quadrado» e a derivada era \(\frac{dy}{dx} = 2x\). Esta é uma fórmula notória. No seu caso basta aplicar várias fórmulas conhecidas: a derivada da potência (\(\sqrt[3]{t} = t^{\frac{1}{3}}\)), a derivada da soma, a derivada da tangente, e, certamente, a regra da cadeia.

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