Equações diferenciais através de substituição

[karenfreitas]

A equação diferencial:

\(e^y{y}' = e^{-xy} -y\)

dica para substituição
\(xy = v\)

Tô com muita dificuldade nesse assunto. Principalmente nessa hora de separar as variáveis, que não consigo fazer.
Agradeço desde já.

[karenfreitas]

A equação diferencial:

\(x{y}' = e^{-xy} -y\)

dica para substituição
\(xy = v\)

Tô com muita dificuldade nesse assunto. Principalmente nessa hora de separar as variáveis, que não consigo fazer.
Agradeço desde já.

[karenfreitas]

A equação diferencial:

\(x{y}' = e^{-xy} -y\)

dica para substituição
\(xy = v\)

Tô com muita dificuldade nesse assunto. Principalmente nessa hora de separar as variáveis, que não consigo fazer.
Agradeço desde já.

Errata: não é euler e sim x. Desculpe o erro

[Sobolev]

Deve começar por seguir a sugestão, considerando uma nova variável \(v\) em vez de \(y\). Sabemos que

\(xy = v \Leftrightarrow y = \frac vx, \quad y' = (\frac vx)'=\dfrac{v' x - v}{x^2}\)

Substituindo na equação,

\(xy'= e^{-xy}-y \Leftrightarrow \dfrac{v'x-v}{x} = e^{-v}-\frac vx\Leftrightarrow v' = e^{-v}\)

Esta última equação é de variáveis separáveis... \(e^v dv = dx\) e a sua solução geral é dada, na forma implícita, por
\(\int e^v dv = \int dx \Leftrightarrow e^v = x + C\)

Neste caso pode-se determinar explicitamente a expressão de v, \(v = \log(x+C)\). Assim, recordando que \(y = \frac vx\), temos finalmente que \(y(x) = \frac{\log(x+C)}{x}\)