Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite,

Estou resolvendo questões de concursos públicos e me deparei com esse que não consegui resolver de jeito nenhum. Alguém poderia me ajudar pfvr?
Segue:
Seja \(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) contínua e suponha que \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) e \(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) são soluções da equação diferencial y''+y'-2.y=h(x), tais que f(0)=g(0) e f'(0)=g'(0)+3. Então f(ln(2)) - g(ln(2)) é igual a:

A resposta certa é \(\frac{7}{4}\).

Eu achei a solução da equação homogênea: \(C_{_{1}}.e^{-2x}+C_{_{2}}.e^{x}\) e depois disso travei.

Apenas tem que notar \(f(x)-g(x)\) é solução da equação homogénea, pelo que, tal como disse,

\(f(x)-g(x) = c_1 e^{-2x} +c_2 e^x
f'(x)-g'(x)=-2 c_1 e^{-2x} + c_2 e^x\)

As condições fornecidas permitem calcular as constantes \(c_1, c_2\)

\(f(0)=g(0) \Rightarrow f(0)-g(0)=0 \Rightarrow 0 = c_1+c_2
f'(0)=g'(0)+3 \Rightarrow f'(0)-g'(0)=3 \Rightarrow -2 c_1+c_2 = 3\)

Deeps disso basta calcular \(c_1 e^{-2 \ln 2} + c_2 e^{\ln2}= =-4c_1+2c_2\)