Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá! Preciso de ajuda para resolver a seguinte questão. Ela é mais teórica e pode ter várias respostas corretas, então gostaria de opiniões
Suponha que você tenha uma EDO:
y'(x)=f(x,y), x ϵ [a,b]
Suponha também que f(x,y) e d/dy(f(x,y)) são contínuas e limitadas no intervalo [a,b].
Dado um número I, encontre α (alpha) ϵ ℝ, sendo este o valor inicial do problema de valor inicial: y'(x)=f(x,y), x ϵ [a,b], y(a)=α e que sua solução y(x) satisfaça:
∫y(x)dx=I (integral de [a,b])

Posso explicar como chegar a solução, alpha, usando qualquer método já estabelecido ou posso inventar um método. Não existe solução única, mas seja qual for a solução preciso justificar o método que escolhi.

Obrigada desde já!

Dada a existência e unicidade de solução para cada condição inicial \(y(a)=\alpha\), designemo-la por \(y_{\alpha}(x)\), e observando que as soluções obtidas para diferentes valores de \(\alpha\) não se podem cruzar, podemos afirmar que

\(y_{\alpha_1}(x) < y_{\alpha_2}(x), \quad x \in [a,b] \Leftrightarrow \alpha_1 < \alpha_2\)

e o mesmo acontece com os respectivos integrais, isto é,

\(\int_a^b y_{\alpha_1}(x)dx < \int_a^b y_{\alpha_2}(x) dx \quad \Leftrightarrow \alpha_1 < \alpha_2\)

Por outro lado, como a solução depende continuamente dos dados iniciais, sabemos que a função \(I(\alpha) = \int_a^b y_{\alpha}(x) dx\) é contínua. A determinação do valor de \(\alpha\) pretendido corresponde pois a resolver a equação não linear \(I(\alpha) - I = 0\), equação essa que pode ser resolvida por exemplo usando o método da bisseção (produz uma sucessão de valores convergente para a solução da equação).