Constante de uma equação diferencial parcial

[Enceladus]

Olá,

Eu estava estudando o método de solução de equações diferencias ordinárias exatas e então me deparei com a seguinte equação diferencial parcial:

\(\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)\)

Após a integração de ambos os lados em relação a x obtem-se o seguinte resultado:

\(f(x,y)=\int M(x,y)+g(y)\)

Dúvida: Porque a constante de integração depende de y?

Obs.: Livro Equações Diferencias, Dennis G. Zill, 3ª ed., pag. 62.


Desde já, obrigado.

[pedrodaniel10]

Porque tudo o que depende apenas de y, ao derivar em ordem a x é 0. Ou seja, derivar g(y) em ordem a x é 0. Por isso ao integrar, g(y) comporta-se como uma constante.

[Enceladus]

Mas qual é o motivo da escolha desta constante dependente de y neste problema específico?

[Sobolev]

Se tomar a segunda equação e derivar em ordem a x obtém a primeira... E obtém a primeira qualquer que seja a função g que considere, desde que esta não dependa de x. Assim, considerar uma função desse tipo permite obter a família de todas as primitivas, ao passo que se considerasse apenas uma constante não teria todas as possíveis primitivas.

[Enceladus]

Muito obrigado!!!