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| Demonstração da solução de uma equação diferencial exata https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=12322 |
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| Autor: | Enceladus [ 11 fev 2017, 02:04 ] |
| Título da Pergunta: | Demonstração da solução de uma equação diferencial exata |
Eu estou com um problema para entender o método de solução de equação diferencial exata, pois equações diferenciais separáveis ou homogêneas são de fácil entendimento, visto que a solução desse dois tipos de equações é obtido por simples integração. Porém, quando se trata de um EDO exata lança-se mão de do diferencial total, e isso me parece muito estranho a ponto de eu não conseguir entender como este procedimento pode resultar na função f(x,y) que é solução da EDO exata. Alguém pode me explicar isso ou me indicar algum livro que possua um explicação detalhada do porque esse método de solução conduz a resposta correta? Obs.: Eu não tenho dúvidas com relação ao procedimento em si. Por quê a função \(f(x,y)=c\) é a solução da equação \(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\) Desde já, obrigado. |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 11 fev 2017, 04:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da solução de uma equação diferencial exata [resolvida] |
De uma forma bem simples. Aplicando alguns conhecimentos sobre R^n (Campos vetoriais conservativos, gradientes etc...) Tendo \(Q(x,y) \, dy\: +\: P(x,y)\, dx=0\) e suponhamos que: \(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\) Então, desta forma, P e Q são gradientes (Campo conservativo \(F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\)) pelo que existe um potencial u tal que: \(\left\{\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y)\\ \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y) \end{matrix}\right.\) Ora \(\frac{\partial}{\partial x}(u(x,y(x)))=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) Pegando na equação: \(Q(x,y) \, dy\: +\: P(x,y)\, dx=\frac{\partial u}{\partial y} \, dy\: +\: \frac{\partial u}{\partial x}\, dx=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial}{\partial x}(u(x,y(x)))=0\) Como \(\frac{\partial}{\partial x}(u(x,y(x)))=0\), se \(\frac{\partial u}{\partial y}\neq 0\) então \(u(x,y)=c\) define implicitamente uma função y(x) continuamente diferencial e tem-se que: \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y'(x)=\frac{-\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u}{\partial y}}\) Basta imaginar que \(g'(x)=\frac{\partial}{\partial x}(u(x,y(x)))=0\). Pelo que \(g(x)=c=u(x,y(x))\) que torna as coisas bem mais simples. |
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| Autor: | Enceladus [ 15 fev 2017, 18:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração da solução de uma equação diferencial exata |
Muito boa sua explicação!! Muito obrigado, Abraço!!! |
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