Resolução de Integração Utilizando Substituições Trigonométricas

[calbferreira@2]

\(\int \frac{1}{2}cos4xsen2x dx\)

[Fraol]

Uma substituição plausível seria: \(cos(4x) sen(2x) = \frac{1}{2} ( sen(2x + 4x) + sen(2x - 4x) )\)

Daí a integral ficará assim:

\(\int \frac{1}{2} cos(4x)sen(2x) dx\)

\(= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} ( sen(2x + 4x) + sen(2x - 4x) ) dx\)

\(= \frac{1}{4} \int ( sen(6x) + sen(-2x) ) dx\)

Como a função seno é ímpar:

\(= \frac{1}{4} \int ( sen(6x) - sen(2x) ) dx\)

\(= \frac{1}{4} \int sen(6x) dx - \frac{1}{4} \int sen(2x) dx\)


Fazemos: \(u = 6x \Rightarrow dx = \frac{du}{6}\) e \(v = 2x \Rightarrow dx = \frac{dv}{2}\)

\(= \frac{1}{4} \int sen(u) \frac{du}{6} - \frac{1}{4} \int sen(v) \frac{dv}{2}\)

\(= \frac{1}{24} \int sen(u) du - \frac{1}{8} \int sen(v) dv\)

\(= - \frac{1}{24} cos(u) + C_1 + \frac{1}{8} cos(v) + C_2\)

Desfazendo a última substituição:


\(= - \frac{1}{24} cos(6x) + C_1 + \frac{1}{8} cos(2x) + C_2\)

\(= - \frac{1}{24} cos(6x) + \frac{1}{8} cos(2x) + C\)