Resolução de EDO com integral não elementar

[juzo.sakakura]

Poderiam por favor resolver este exercício? Meu professor disse pra utilizar uma técnica de integração, eu achei na internet que era a de Fresnel porém não estou conseguindo resolver isso. Obrigado desde já!

\(y'-[5*x^7+sen(2*x)]/(2*y)=0\)

onde y(0) = 3

[Sobolev]

É uma equação com variáveis separáveis... Pode ser reescrita como
\(2y y' = 5x^7+ \sin (2x) \Leftrightarrow 2y dy = (5x^7+ \sin (2x)) dx\)

A solução é dada no forma implicita por
\(\int 2y dy = \int (5x^7+ \sin (2x)) dx \Leftrightarrow y^2 = \frac{5x^8}{8} - \frac 12 \cos(2x)+C\)

Usando a condição inicial, sabemos que quando x=0, devemos ter y = 3, pelo que,
\(3^2 = \frac{5\cdot 0^8}{8} - \frac 12 \cos (2 \cdot 0)+C \Leftrightarrow C= \frac{19}{2}\).

Assim, a sol. é dada implicitamente por
\(y^2 = \frac{5x^8}{8} - \frac 12 \cos(2x) + \frac{19}{2}\)

Se quiser pode agora explicitar y.