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Boa noite.
É pretendido determinar a solução geral de \(2xy+6x+(x^{2}-4)\frac{dy}{dx}\)=0.
A solução dada é: \(y=\frac{c}{x^{2}-4}-3\).
No entanto não estou conseguindo chegar a esta solução.
Resolvi da seguinte forma:
\(x(2y+6)=-(x^{2}-4)\frac{dy}{dx} \equiv \frac{x}{x^{2}-4} =-\frac{1}{2y+6}\frac{dy}{dx}\equiv \frac{x}{x^{2}-4} dx=-\frac{1}{2y+6}dy\).
\(\int \frac{x}{x^{2}-4}dx=-\int \frac{1}{2y+6}dy\)
\(\frac{1}{2}ln(x^{2}-4)=-\frac{1}{2}ln(2y+6)+c\equiv ln(x^{2}-4)^{\frac{1}{2}}=ln(2y+6)^{\frac{-1}{2}}+c\equiv (x^{2}-4)=(2y+6)^{\frac{-1}{2}}\).
Estará a faltar algum pormenor, ou errei algures pelo meio do raciocínio?
Obrigado!

Meu caro, parece-me (aparentemente) estar a fazer tudo corretamente

repare apenas que se tem

\(\frac{1}{2}ln(x^{2}-4)=-\frac{1}{2}ln(2y+6)+c\)

Pode multiplicar a equação por 2 e fica com

\(ln(x^{2}-4)+ln(2y+6)=2c\)

o que facilita pois não necessita de raízes, assim, continuando:

\((x^2-4)(2y+6)=e^{2c}\)

\(2y+6=\frac{e^{2c}}{x^2-4}\)

\(y=\frac{e^{2c}}{2(x^2-4)}-3\)

fazendo \(\frac{e^{2c}}{2}=K\) ficamos com:

\(y=\frac{K}{x^2-4}-3\)

Cumprimentos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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