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MensagemEnviado: 20 ago 2014, 11:21 
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a)Mostre que se n = 1 então, para todo t > 0
\((-n)[t^{2-(n+1)}]= t^{2-2n}- t^{1-n} - 1\)

b) Determine uma solução geral de\(t^{2}y´ = -1 - ty + t^{2}y^{2}\)
no intervalo (0, +oo)

obs.:Procure uma solução particular da forma y1 (t) = \(t^{-n}\)
:)


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MensagemEnviado: 22 ago 2014, 14:10 
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Não se percebe a pergunta...

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José Sousa
se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928


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MensagemEnviado: 22 ago 2014, 14:35 
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Bom dia
segue a questao... obrigado


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MensagemEnviado: 23 ago 2014, 01:00 
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Olá :D


a)


Substitua n=1 na expressão :


\((-1)*t^{2-2}=t^{2-2}-t^{1-1}-1\)

\((-1)*t^{0}=t^{0}-t^{0}-1\)

perceba que se t>0 sempre teremos a igualdade , pois :


\(-1=1-1-1\)

\(-1=-1\)



b) Veja que se trata de uma equação de riccalti, então :


\(t^2*y^{\prime}=-1-ty+t^2y^{2}\)

\(y^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}*y+y^{2}\)


Seguindo a sugestão obtemos que \(y=\frac{1}{t}\) é uma solução, agora usando a substituição \(y=\frac{1}{t}+v\) na eq. dif :


\(\left( \frac{1}{t}+v \right)^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}\left( \frac{1}{t}+v \right)+\left( \frac{1}{t}+v \right)^{2}\)



Tente concluir....


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MensagemEnviado: 23 ago 2014, 02:54 
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;) poxa amigo, nao consegui prosseguir...
cheguei a alguns resultados, mas sem logica...
poderia me mostra a resolução?
abraços :)


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MensagemEnviado: 23 ago 2014, 15:31 
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\(\left( \frac{1}{t}+v \right)^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}\left( \frac{1}{t}+v \right)+\left( \frac{1}{t}+v \right)^{2}\)


\(-\frac{1}{t^2}+v^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^2}-\frac{v}{t} + \frac{1}{t^2}+\frac{2v}{t}+v^2\)


\(v^{\prime}=\frac{v}{t}+v^2\)


agora veja que é uma eq. de bernoulli logo \(z=v^{1-2}=\frac{1}{v} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; z^{\prime}=-\frac{1}{v^2}\), multiplique a eq. dif por \(v^{-2}\) :


\(\frac{v^{\prime}}{v^2}=\frac{1}{tv}+1\)


\(z^{\prime}=-\frac{z}{t}-1\)


\(z^{\prime}+\frac{z}{t}=-1\)



Fator integrante : \(\mu(t)=e^{\int \; \frac{1}{t} \; dt}=t\), logo multiplique por "t" :


\(z^{\prime}t+z=-t\)


\((z*t)^{\prime}=-t\)


\(\int \; (z*t)^{\prime}=-\int \; t \; dt\)



\(z*t=-\frac{t^2}{2}+C\)


\(z=-\frac{t}{2}+\frac{C}{t}\)


\(z=-\frac{t^2+C}{2t}\)



Retornando a função "v" : \(v=-\frac{2t}{t^2+C}\) ,agora retornando a função "y" : \(\fbox{\fbox{\fbox{y(x)=\frac{1}{t}-\frac{2t}{t^2+C} }}}\) está é a solução.


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