Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(\int (lnx)^3dx\)

Integral por partes:
\(\int uv'=uv-\int u'v\)

Deste modo:
\(\int (lnx)^3dx=x\ln^3(x)-\int x\frac{3\ln^2(x)}{x}dx=x\ln^3(x)-\int 3\ln^2(x)\)

Pegando na integral e aplicando de seguida a integral por partes sucessivamente:
\(\int 3\ln^2(x)=3\int \ln^2(x)
=3\left ( x\ln^2x-\int x\frac{2\ln x}{x} dx\right )=3\left ( x\ln^2x-\int 2\ln x \:dx\right )=3\left ( x\ln^2x-2\int \ln x \:dx \right )
=3\left ( x\ln^2 x-2\left ( x\ln x-\int x\frac{1}{x}\: dx \right ) \right )=3\left ( x\ln^2 x-2\left ( x\ln x-\int 1\: dx \right ) \right )
=3\left ( x\ln^2x-2(x\ln x-x) \right )\)

Pegando então na expressão original:

\(\int (lnx)^3dx=x\ln^3(x)-3\left ( x\ln^2x-2(x\ln x-x) \right )\)

Junta-se uma constante e eis a solução.