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Equação de Fourier da função e encontrar série numérica https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=8053 |
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Autor: | Zerotk [ 20 fev 2015, 15:08 ] |
Título da Pergunta: | Equação de Fourier da função e encontrar série numérica |
Por favor, encontrei essa questão em uma lista de exercícios e não consegui resolvê-la. A função f definida para x no intervalo: \(0< x\leq 2\pi\) pela expressão \(f(x) = \left \{ x, 0<x\leq \pi \right \}; f(x) = \left \{ x-2\pi, \pi<x\leq 2\pi \right \}\) a) Determine a série de Fourier da função f(x). b) Use a série encontrada para obter o valor da série numérica \(\sum \frac{(-1)^n}{2n-1}\) n>=1 Desde já agradeço |
Autor: | Man Utd [ 23 fev 2015, 21:21 ] |
Título da Pergunta: | Re: Equação de Fourier da função e encontrar série numérica [resolvida] |
Oi ,comece esboçando a função periodica e verá que é uma função ímpar, logo \(A_{0}=0\) e \(A_{n}=0\), neste caso só precisamos calcular : \(B_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \; f(x) \sin (nx) \; dx=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \; x \sin (nx) \; dx=-\frac{2(-1)^{n}}{n}\) Dada a série de fourier : \(S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} \; A_{n} \cos(nx)+B_{n} \sin (nx)\), então : \(\begin{cases} x \;\; , \;\; se \;\;\; 0<x\leq \pi \;\; (i) \\ x-2\pi \;\; , \;\; se \;\;\; \pi<x\leq 2 \pi \;\; (ii) \end{cases}=\sum_{n=1}^{+\infty} \; -\frac{2(-1)^{n}\sin (nx)}{n}\) Então se fizermos \(x=\frac{\pi}{2}\) ,vamos utilizar o primeiro caso: \(\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^{+\infty} \; -\frac{2(-1)^{n}\sin (n \frac{\pi}{2})}{n}\) Perceba que se "n" é ímpar, temos que \(n=2k-1\),logo: \(\frac{\pi}{2}=\sum_{k=1}^{+\infty} \; -\frac{2(-1)^{2k-1}\sin ((2k-1)\frac{\pi}{2})}{2k-1}\) \(\frac{\pi}{2}=\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{2(-1)^{k+1}}{2k-1}\) \(\sum_{k=1}^{+\infty} \; \frac{(-1)^{k}}{2k-1}=-\frac{\pi}{4}\) |
Autor: | Zerotk [ 24 fev 2015, 00:49 ] |
Título da Pergunta: | Re: Equação de Fourier da função e encontrar série numérica |
Muito obrigado pela sua resposta, Realmente já havia conseguido escrever a função de Fourier, mas achei que estava incorreta pois não achava uma maneira de chegar na série pedida na letra c. Entendi perfeitamente a substituição de n = 2k-1. Agradeço bastante pela sua atenção. |
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