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MensagemEnviado: 26 abr 2015, 01:54 
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\(\int_{1}^{e}\int_{1}^{e}ln(xy)dydx\)


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MensagemEnviado: 26 abr 2015, 02:32 
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Vamos aplicar integração por partes na integral mais de dentro:


\(u=\ln(xy)
du=\frac{x}{xy}=\frac{1}{y} dy
dv=dy
v=y\)

\(\int_{1}^{e}\ln(xy)\: dy=\ln(xy)\cdot y-\int y\cdot \frac{1}{y} dy =\left [ \ln(xy)\cdot y-y \right ]_{y=1}^e=e\cdot (\ln(xe)-1)-(\ln (x)-1)\)

\(\int_{1}^{e}e\cdot (\ln(xe)-1)-(\ln (x)-1) \:dx=e\int_{1}^{e}\ln(xe)\, dx+(1-e)\int_{1}^{e}dx-\int_{1}^{e}\ln(x)\, dx\)

Veja se já consegue terminar, qualquer coisa estou aqui.


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MensagemEnviado: 26 abr 2015, 14:52 
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Apenas não entendi como você chegou na parcela abaixo da equação.
...\(+(1-e)\int_{1}^{e}dx-\)...


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MensagemEnviado: 26 abr 2015, 15:12 
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Coloquei \(\int_{1}^{e}dx\) em evidencia.


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MensagemEnviado: 26 abr 2015, 22:40 
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Não consegui chegar à solução final.
Solução: 2e-2


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MensagemEnviado: 27 abr 2015, 08:46 
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Pode também fazer umas continhas antes de chegar a primitivar...

\(\int_{1}^{e}\int_{1}^{e}ln(xy)dydx = \int_{1}^{e}\int_{1}^{e}\ln x + \ln y dydx = \int_{1}^{e}\int_{1}^{e}\ln x dydx + \int_{1}^{e}\int_{1}^{e} \ln y dydx = (e-1)\int_1^e \ln x dx+ (e-1)\int_1^e \ln y dy = 2(e-1) \int_1^e \ln x dx\)


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MensagemEnviado: 27 abr 2015, 18:16 
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Resolvendo a partir de sua solução:
\(2(e-1)\int_{1}^{e}lnxdx\) = \(2(e-1)\frac{1}{x}_{1}^{e}\) = \(2(e-1)(\frac{1}{e}-1)\) = \((2e-2)(\frac{1}{e}-1)\) =
\(4-\frac{2}{e}-2e\) = ????


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MensagemEnviado: 27 abr 2015, 23:36 
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A antiderivada de ln x não é 1/x mas sim:

\(\int \ln x\: dx=x(\ln x-1)+C\)


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