Para que exista termo independente de x

[dressa_mwar1]

Para que exista termo independente de x no desenvolvimento de \(\left ( \frac{2}{x}-x^2\right )^n\), n deve ser um número inteiro:

a)múltiplo de 3
b)par
c)divisível por 5
d)múltiplo de 7
e)divisível por 11

[danjr5]

Para que exista termo independente de x no desenvolvimento de \(\left ( \frac{2}{x}-x^2\right )^n\), n deve ser um número inteiro:

a)múltiplo de 3
b)par
c)divisível por 5
d)múltiplo de 7
e)divisível por 11

Olá Dressa, boa tarde!

Seja "p" um natural. Considere-o como sendo o denominador (binomial) responsável pelo cancelamento entre a variável "x" dos termos do binômio efectuada as devidas operações. Então, por Binômio de Newton:

\(\mathrm{\binom{n}{p} \cdot \left ( \frac{2}{x} \right )^{n - p} \cdot \left ( - x^2 \right )^p =}\)

\(\mathrm{\binom{n}{p} \cdot \frac{2^{n - p}}{x^{n - p}} \cdot \left ( - x \right )^{2p} =}\)

\(\mathrm{\binom{n}{p} \cdot 2^{n - p} \cdot \frac{1}{x^{n - p}} \cdot \left [ (- 1) \cdot x \right ]^{2p} =}\)

\(\mathrm{\binom{n}{p} \cdot 2^{n - p} \cdot \frac{1}{x^{n - p}} \cdot (- 1)^{2p} \cdot x^{2p} =}\)

\(\mathrm{\binom{n}{p} \cdot 2^{n - p} \cdot \frac{1}{x^{n - p}} \cdot x^{2p} =}\)

Ora, teremos um termo independente se os expoentes de "x" forem iguais. Portanto, igualamos os expoentes, veja:

\(\\ \mathrm{n - p = 2p} \\\\ \fbox{\mathrm{n = 3p}}\)

Espero ter ajudado!

Bons estudos.

Att,

Daniel Ferreira

[dressa_mwar1]

Muitíssimo obrigada