Combinações possíveis para a organização deste comitê.

[Morzics]

Bem pessoal, sou novo aqui no fórum então antes de mais nada peço desculpas por qualquer erro da minha parte.
Vamos lá, estou com um trabalho para poder fazer e estou com uma dúvida em uma (na verdade o trabalho todo) questão.
A questão é a seguinte :
"Suponha que um departamento tenha 60 homens e 15 mulheres. Quantas maneiras de formar um comitê com
seis membros são possíveis:
(a) se deve ter pelo menos uma mulher e um homem?"

Bem...Direi para vocês o meu raciocínio e caso esteja errado gostaria de sua ajuda para saber o porquê. Para mim como são seis cadeiras a serem ocupadas e existem 60 homens e 15 mulheres, determino que a primeira cadeira será ocupada por uma mulher, logo são 15 possibilidades para aquela primeira cadeira, após isso, determinei que a segunda cadeira seria ocupada por um homem, são 60 possibilidades para aquela cadeira. Já as outras 4 cadeiras sobram a soma da quantidade de homens e mulheres menos as duas posições usadas, no caso,a terceira cadeira sobram 73 possibilidades, a quarta 72 e assim adiante até que a primeira sobra 70 possibilidades.
O problema é, com a multiplicação destes números obti o resultado de 23510088000 possibilidades para este comitê, achei um numero muito grande por isso acho que tem algo de errado com o meu raciocínio, e não consigo achar oque. Desde já agradeço.

[jorgeluis]

Morzics,
se nos comitês de 6 membros, obrigatoriamente, deve haver pelo menos 1h e 1m, então:
\(C_{60,1}\times C_{15,5}=180.180
C_{60,2}\times C_{15,4}=2.416.050
C_{60,3}\times C_{15,3}=15.570.100
C_{60,4\times C_{15,2}=51.201.675
C_{60,5}\times C_{15,1}=81.922.680\)

total de comitês:
\(151.290.685\)

[Sobolev]

Realmente o número que está a obter é demasiado grande... Isso acontece porque está a contabilizar como sendo diferentes configurações que são iguais. Da maneira que está a calcular, a ordem pela qual os elementos do comitê são escolhidos é relevante, sendo contadas todas as possíveis ordenações. O número correcto pode ser obtido do seguinte modo:

\(60 \times 15 \times \binom{73}{4}= 979.587.000\)

60 x 15 corresponde a seleccionar um homem e uma mulher, e o terceiro fator corresponde a escolher 4 elementos de um grupo de 73.

\(\binom{73}{4} = \dfrac{73!}{(73-4)! 4!}= \frac{73 \times 72 \times 71 \times 70}{24}\)