Gostaria de um auxilio nesta questão:
Calcule o coeficiente de \(x^{10}\) no desenvolvimento do binômio de Newton:
\((\sqrt{\frac{x}{3}} - \frac{5}{x^{2}})^{100}\)
| Anexos: |
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| Determinar o coeficiente x^10 no Binômio de Newton https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=13313 |
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| Autor: | ClaudioJR [ 02 nov 2017, 13:19 ] | ||
| Título da Pergunta: | Determinar o coeficiente x^10 no Binômio de Newton | ||
Gostaria de um auxilio nesta questão: Calcule o coeficiente de \(x^{10}\) no desenvolvimento do binômio de Newton: \((\sqrt{\frac{x}{3}} - \frac{5}{x^{2}})^{100}\)
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| Autor: | Rui Carpentier [ 04 nov 2017, 00:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar o coeficiente x^10 no Binômio de Newton |
Pelo binómio de Newton \((\sqrt{\frac{x}{3}} - \frac{5}{x^{2}})^{100}=\sum_{k=0}^{100}{100 \choose k}\left(\sqrt{\frac{x}{3}}\right)^{k}\left(\frac{5}{x^{2}}\right)^{100-k}=\sum_{k=0}^{100}{100 \choose k}\left(\frac{5^{100-k}}{\sqrt{3}^k}\right)x^{\frac{k}{2}-2(100-k)}\). Como \(\frac{k}{2}-2(100-k)=10\Leftrightarrow k=84\) temos que o coeficiente de \(x^{10}\) no desenvolvimento do binômio de Newton é \({100 \choose 84}\left(\frac{5^{100-84}}{\sqrt{3}^{84}}\right)=\frac{100!\times 5^{16}}{16!\times 84!\times 3^{42}}\). |
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| Autor: | jorgeluis [ 07 nov 2017, 17:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar o coeficiente x^10 no Binômio de Newton |
\(\left ( \sqrt{\frac{x}{3}}- \frac{5}{x^2}\right )^{100}\) Outra opção é utilizar o Termo Geral do Binômio de Newton: \(T_{p+1}=\binom{n}{p}.a^{n-p}.b^{p} T_{p+1}=\binom{100}{p}.\left ( \sqrt{\frac{x}{3}}\right )^{100-p}.\left ( -\frac{5}{x^2}\right )^{p}\) continuando o desenvolvimento, achamos: \(p=16\) e consequentemente, \(T_{17}=\binom{100}{16}. \frac{5^{16}}{3^{42}}.x^{10}\) |
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