Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Prove que \(1+2+...n = \frac{\mathrm{n.(n+1)} }{\mathrm{2} }\) para todos os inteiros n >= 1. Utilize indução nita.

Boa tarde!

1) Verificando para n = 1:
\(\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{1(2)}{2}=1\)

Verificado!

2) Por hipótese, a fórmula vale para qualquer valor n, então:
\(1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) é válida para todo n>=1.

Então, vamos mostrar que é válida para n+1 também
Então:
\(1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{(n+1)[(n+1)+1]}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)+n.1+1.(n+1)+1.1}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{n+n+1+1}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2n+2}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)\)

Ou seja, provamos que a fórmula é válida!

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles