Boa tarde!
1) Verificando para n = 1:
\(\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{1(2)}{2}=1\)
Verificado!
2) Por hipótese, a fórmula vale para qualquer valor n, então:
\(1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) é válida para todo n>=1.
Então, vamos mostrar que é válida para n+1 também
Então:
\(1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{(n+1)[(n+1)+1]}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)+n.1+1.(n+1)+1.1}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{n+n+1+1}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2n+2}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}
1+2+\ldots+n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)\)
Ou seja, provamos que a fórmula é válida!
Espero ter ajudado!