Comece por identificar e fixar notação para os acontecimentos referidos no enunciado: \(A\): André perder a paciência. \(B\): haver divergência entre Cleber e Davi. \(C\): haver congestionamento na estrada. E vamos denotar por \(A^c\), \(B^c\) e \(C^c\) os acontecimentos contrários de A, B e C respetivamente. Deste modo o enunciado diz-nos que: A probabilidade de congestionamento na estrada é de 60% (i.e. \(P(C)=0,6\)). Havendo congestionamento, a probabilidade de Cleber e Davi divergirem é de 80% (i.e. P(B|C)=0,8) e, sem congetionamento, tal divergência pode ocorrer com probabilidade de 40% (i.e. \(P(B|C^c)=0,4\)). Quando há divergência, com ou sem congestionamento, a probabilidade de André perder a paciência é de 70% (i.e. \(P(A|B)=0,7\)). Havendo congestionamento, André pode perder a paciência, mesmo sem divergência, o que acontece com probabilidade de 50% (i.e. \(P(A|C)=0,5\)). Quando não há congestionamento, nem divergência, André não perde a paciência (i.e. \(P(A\setminus (C\cup B))=0\)). Qual a probabilidade de ter havido a divergência, dado que André perdeu a paciência?(i.e. queremos calcular \(P(B|A)\)). Resumindo, é nos dado que: \(P(C)=0,6 P(B|C)=0,8 P(B|C^c)=0,4 P(A|B)=0,7 P(A|C)=0,5 P(A\setminus (C\cup B))=0\) e queremos determinar \(P(B|A)\). Também sabemos que o universo vai-se decompor em 8 acontecimentos disjuntos: \(a_1=A\cap B\cap C\), \(a_2=A\cap B\cap C^c\), \(a_3=A\cap B^c\cap C\), \(a_4= A^c\cap B\cap C\), \(a_5=A\cap B^c\cap C^c\), \(a_6=A^c\cap B\cap C^c\), \(a_7= A^c\cap B^c\cap C\) e \(a_8= A^c\cap B^c\cap C^c\). Cada uma das igualdades dadas dará origem a uma equação linear sobre essas variávies \(x_1=P(a_1), x_2=P(a_2), \dots , x_8=P(a_8)\). Temos então, \(P(C)=0,6 \Leftrightarrow x_1+x_3+x_4+x_7=0,6\), \(P(B|C)=0,8\Leftrightarrow P(B\cap C)=P(B|C)P(C)=0,8\times 0,6 \Leftrightarrow x_1+x_4=0,48\), \(P(B| C^c)=0,4\Leftrightarrow x_3+x_6=0,16\) (exercício), \(P(A|B)=0,7\Leftrightarrow P(B)=0,7P(A\cap B)\Leftrightarrow 0,3x_1+0,3x_3+x_4+x_6=0\), \(P(A|C)=0,5 \Leftrightarrow x_1+x_2=0,3\) (exercício) e \(P(A\setminus (C\cup B))=0 \Leftrightarrow x_5=0\). Obtemos um sistema de 7 equações lineares a 8 incógnitas e por isso um sistema indeterminado. Assim sendo, a menos que falte algum dado, não teremos uma solução definitiva. A resposta será \(P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{x_1+x_3}{x_1+x_2+x_3+x_5}\). PS- o máximo que se pode fazer é dar a resposta em função de uma só variável (por exemplo \(x_1\)): \(P(B|A)=\frac{0,448}{0,748-x_1}\) (exercício) e usar o facto das variáveis \(x_1,x_2,\dots ,x_8\) serem positivas para determinar um majorante e minorante para probabilidade pedida.
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