Probabilidade: Prove que P(A U B) ....

[Flavio31]

Boa noite,

tenho muita dificuldade com exercícios do tipo: "Prove que..."

Qual raciocínio vocês costumam usar para resolver esse tipo de problema? eu nunca sei se o que eu faço esta certo, por exemplo:

Prove que P(A U B) <= P(A) + P(B)

Minha ideia foi tentar encontrar uma contradição, então parti da hipótese que:

A = {a1, a2, a3, ..., ai) tal que i pertence a N*
B = {b1, b2, b3, ..., bj) tal que j pertence a N*

o que eu quero provar é que P(A U B) > P(A) + P(B), a ideia é encontrar uma contradição da hipótese inicial e assim não seria possível P(A U B) ser maior que a soma das partes.

dessa forma temos: P(A U B) = {a1, a2, a3, ..., ai, b1, b2, b3, ..., bi, x}
se x pertence a A U B então x pertence a A ou x pertence a B.
se x não pertence a A então x pertence a B e isso contradiz a hipótese inicial pois x não pertence a B.

faz sentido isso ou não é assim que prova?

[PierreQuadrado]

A resposta depende do modo como no seu curso foi introduzida a noção de probabilidade e quais as propriedades da mesma que pode usar. Se tiver introduzido a probabilidade como uma "medida" (este termo tem um significado matemático muito preciso), esta é por definição subaditiva, o que implica diretamente o resultado que refere. Se não for esse o caso mas tiver por exemplo estudado a propriedade

\(P(A \cup B) = P(A)+P(B) - P(A \cap B)\)

então o resultado vem simplesmente to facto de que \(P(A) + P(B) \ge P(A)+P(B) - P(A\cap B)\), já que \(P(A\cap B)\) é uma quantidade positiva.

[Flavio31]

Obrigado.

A forma como eu fiz poderia ser considerada correta?

[PierreQuadrado]

Não, pois o espaço de probabilidade não tem que ser constituído por acontecimentos discretos. Do modo que procedeu nunca pode provar que a proposição é válida para qualquer medida de probabilidade e espaço de acontecimentos.