Questão do concurso Petrobras - Combinação
16 jan 2013, 20:10
Boa tarde Pessoal, estou com muita dificuldade para resolver esta questão, na verdade não sei nem por onde começar. Quem puder me ajudar agradeço muito. (Questão retirada da prova da Petrobras 2012)
Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Considere todas as amostras de tamanho 2 extraídas sem reposição das bolas e sem ordem exigida. Em quantas dessas amostras o produto dos números é um múltiplo de 4?
(A) 25
(B) 45
(C) 75
(D) 95
(E) 115
Abraços,
Juliana Cruz
Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Considere todas as amostras de tamanho 2 extraídas sem reposição das bolas e sem ordem exigida. Em quantas dessas amostras o produto dos números é um múltiplo de 4?
(A) 25
(B) 45
(C) 75
(D) 95
(E) 115
Abraços,
Juliana Cruz
Re: Questão do concurso Petrobras - Combinação
17 jan 2013, 00:21
Olá, boa noite.
Esse é um daqueles problemas que parecem uma coisa mas é outra, rsrs...
Eu começaria a raciocinar assim:
Vamos listar os múltiplos de 4:
4 = 1 x 4 ou 4 x 1; par (1, 4);
8 = 2 x 4 ou 4 x 2 ou 1 x 8 ou 8 x 1; pares (2,4), (1,8);
12 = 2 x 6 ou 6 x 2 ou 3 x 4 ou 4 x 3; pares (2,6), (3,4);
16 = ...
Na urna com 20 bolas numeradas de 1 a 20, conforme as regras do enunciado. O maior valor que podemos obter vem do par ( 19, 20 ) ou (20, 19) cujo produto é 380.
Então temos todos como possibilidade, todos os múltiplos de 4 entre 4 e 380, variando de 4 em 4, isto é:\(\left{ 4, 8, 12, 16, ..., 380 \right}\).
Quantos elementos há nesse conjunto? Observe que é uma Progressão Aritmética com \(a_1 = 4\) e \(a_{20} = 380\) e razão \(r = 4\).
Acha que dá para resolver daqui em diante?
Esse é um daqueles problemas que parecem uma coisa mas é outra, rsrs...
Eu começaria a raciocinar assim:
Vamos listar os múltiplos de 4:
4 = 1 x 4 ou 4 x 1; par (1, 4);
8 = 2 x 4 ou 4 x 2 ou 1 x 8 ou 8 x 1; pares (2,4), (1,8);
12 = 2 x 6 ou 6 x 2 ou 3 x 4 ou 4 x 3; pares (2,6), (3,4);
16 = ...
Na urna com 20 bolas numeradas de 1 a 20, conforme as regras do enunciado. O maior valor que podemos obter vem do par ( 19, 20 ) ou (20, 19) cujo produto é 380.
Então temos todos como possibilidade, todos os múltiplos de 4 entre 4 e 380, variando de 4 em 4, isto é:\(\left{ 4, 8, 12, 16, ..., 380 \right}\).
Quantos elementos há nesse conjunto? Observe que é uma Progressão Aritmética com \(a_1 = 4\) e \(a_{20} = 380\) e razão \(r = 4\).
Acha que dá para resolver daqui em diante?
Re: Questão do concurso Petrobras - Combinação
17 jan 2013, 00:36
Algumas dicas (e olhe que não gosto NADA de gasolineiras)
- Para se ser múltiplo de 4 necessita de ser múltiplo de 2
- Um porduto de dois números, é múltiplo de dois se um deles, ou os dois, são pares
- Se um dos números for múltiplo de 4, o resultado será múltiplo de 4! Conto \(5\times 19\) casos
(a primeira bola é 4,8,12,16 ou 20 e a segunda é qq uma menos a primeira)
estou apenas a pensar alto...
se fatorizar os números de 1 a 20
\(1={1}\)
\(2={2}\) - tem um fator 2
\(3={3}\)
\(4={2}^{2}\) - tem dois fatores 2
\(5={5}\)
\(6={2}\times {3}\) - tem um fator 2
\(7=7\)
\({8}={2}^{8}\) - tem três fatores 2
\(9={3}^{2}\)
\(10={2}\times {5}\) - tem um fator 2
\(11={11}\)
\(12={2}^{2}\times {3}\) tem dois fatores 2
\(13={13}\)
\(14={2}\times {7}\) tem um fator 2
\(15={3}\times {5}\)
\({16}=2^{4}\) tem quatro fatores 2
\(17=17\)
\({18}=2\times 3^2\) tem um fator 2
\(19=19\)
\(20={2}^{2}\times 5\) tem dois fatores 2
verá que para o produto ser múltiplo de 4 é preciso que no conjunto haja pelo menos dois fatores 2
agora é só contar os casos...
- Para se ser múltiplo de 4 necessita de ser múltiplo de 2
- Um porduto de dois números, é múltiplo de dois se um deles, ou os dois, são pares
- Se um dos números for múltiplo de 4, o resultado será múltiplo de 4! Conto \(5\times 19\) casos
(a primeira bola é 4,8,12,16 ou 20 e a segunda é qq uma menos a primeira)
estou apenas a pensar alto...
se fatorizar os números de 1 a 20
\(1={1}\)
\(2={2}\) - tem um fator 2
\(3={3}\)
\(4={2}^{2}\) - tem dois fatores 2
\(5={5}\)
\(6={2}\times {3}\) - tem um fator 2
\(7=7\)
\({8}={2}^{8}\) - tem três fatores 2
\(9={3}^{2}\)
\(10={2}\times {5}\) - tem um fator 2
\(11={11}\)
\(12={2}^{2}\times {3}\) tem dois fatores 2
\(13={13}\)
\(14={2}\times {7}\) tem um fator 2
\(15={3}\times {5}\)
\({16}=2^{4}\) tem quatro fatores 2
\(17=17\)
\({18}=2\times 3^2\) tem um fator 2
\(19=19\)
\(20={2}^{2}\times 5\) tem dois fatores 2
verá que para o produto ser múltiplo de 4 é preciso que no conjunto haja pelo menos dois fatores 2
agora é só contar os casos...
Re: Questão do concurso Petrobras - Combinação
17 jan 2013, 00:37
bem visto Francisco 
Re: Questão do concurso Petrobras - Combinação
17 jan 2013, 12:39
Muito obrigado galera!!! Vocês foram demais. Não imaginava que poderia ser uma PA.
Resolvendo a PA da exatamente o valor do gabarito da questão que é 95.
An = A1 + (n-1).r
380 = 4 + (n-1).4
380 = 4 + 4n - 4
380 = 4n
380 = n
4
n = 95
Valeu! A ajuda foi muito bem vinda.
Abraços
Juliana Cruz
Resolvendo a PA da exatamente o valor do gabarito da questão que é 95.
An = A1 + (n-1).r
380 = 4 + (n-1).4
380 = 4 + 4n - 4
380 = 4n
380 = n
4
n = 95
Valeu! A ajuda foi muito bem vinda.
Abraços
Juliana Cruz