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Boas

Precisava de mostrar esta igualdade, para n>= 1:

\(\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}= n^2\)


Tentei fazer exercício com o seguinte raciocínio:
Sei que o coeficiente binomial = \(\binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

1.
Lei de Pascal para o primeiro porque 1<= k <= n:
\(\binom{n+2}{3} = \binom{n+2-1}{3-1}+\binom{n+2-1}{3}\)

2.
Coeficiente binomial para o segundo:
\(\binom{n}{3} = \frac{n!}{3!(n-3)!\)

Não sei ao certo se estou a ir pelo caminho certo.
Agradeço ajuda.

Cardoso.

Boa tarde.

Eu julgo que essa igualdade não seja possível.

Basta tentar n=1 e não temos os mesmos valores.
Será que estou certo?

\((n-3)!\) para n=1 é factorial de -2 que é indefinido.

Boa noite.
Obrigado Jorge pela opinião.

Se eu substituir n por qualquer valor vai sempre ser verdadeira esta igualdade.

A questão é tentar desenvolver o lado esquerdo da igualdade.
Tentei resolver a primeira com a lei de pascal, e a segunda com coeficiente binomial, mas não consigo ultrapassar.

Alguém me consegue ajudar.
Obrigado.
Cardoso

Se tentar usar indução para provar a igualdade, ela falha para n=1. E o universo, pelo que vi é n>=1. Não será uma boa base para provar que não é possivel?

Meu caro

Então se \(\binom{n+2}{3}=\binom{n+1}{2}+\binom{n+1}{3}\)

Também sabemos que:

\(\binom{n+1}{3}=\binom{n}{2}+\binom{n}{3}\)

Ora então:

\(\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}-\binom{n}{3}=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}\)

Desenvolvamos então:

\(\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}=\frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{(n+1)n!}{2(n-1)(n-2)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n!((n+1)+(n-1))}{2(n-1)(n-2)!}=\\=\frac{n.n!}{(n-1)!}=\frac{n.n!}{\frac{n!}{n}}=n^2\)

cqd

Cumprimentos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Da minha parte obrigado.
Confesso que estou básico nisto. No entanto por uma base de indução porque falha para o teste com n=1?

Meu caro, não falha para \(n=1\) pois \(\binom{1}{3}=0\) e \(\binom{3}{3}=1\)

Vede: http://en.wikipedia.org/wiki/Combination

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João Pimentel Ferreira
 
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Pela definição genérica de factorial a expressão falha (no entanto percebi agora que ela só pode ser usada quando k<=n...), bolas!

Mas pela expressão base tal poderia ser demonstrado, conforme fez.

Obrigado e muito esclarecido.
Grato por se ter dado ao trabalho de responder a uma dúvida, de facto básica.

Não tem de quê meu caro, estamos aqui para isso

Cumprimentos

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