Contagem de possibilidades em lançamentos de dados.

[lukyo]

Um dado justo é lançado 5 vezes. De quantas formas distintas podem ocorrer nestes lançamentos, no máximo 3 números menores do que 5?

O gabarito informa que a resposta é 4192. Mas como chegar a esse resultado?

Agradeço desde já!

[pedrodaniel10]

Então podem acontecer 4 hipóteses:
[list=]
[*]Não sai nenhum número <5
Podem sair 2 números por cada vez que é lançado (5 e 6)
\(2\times 2\times 2\times 2\times 2=2^{5}\)
\(2^{5}=32\)

[*]Sai 1 número <5
\(4\times 2\times 2\times 2\times 2=4\times 2^{4}\)
Mas pode sair em qualquer das vezes. Portanto é preciso calcular o número de combinações: \(^{5}C_{1}\)
\(4\times 2^{4}\times ^{5}C_{1}\)
\(4\times 2^{4}\times 5=320\)

[*]Sair 2 números <5
\(4\times 4\times 2\times 2\times 2=4^{2}\times 2^{3}\)
\(4^{2}\times 2^{3}\times ^{5}C_{2}\)
\(4^{2}\times 2^{3}\times 10=1280\)

[*]Sair 3 números <5
\(4\times 4\times 4\times 2\times 2=4^{3}\times 2^{2}\)
\(4^{3}\times 2^{2}\times ^{5}C_{3}\)
\(4^{3}\times 2^{2}\times 10=2560\)
[/list]

Então, o resultado é a soma de todas as situações:
\(32+320+1280+2560=4192\)