Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Já tentei de tudo nessa questão...

(COMPERVE 2012) Em um rebanho de uma fazenda com 300 bois e 500 vacas, a probabilidade de um animal de um desses grupos estar com febre aftosa é de 0,04 e 0,08, respectivamente.
Se em uma visita de fiscalização, um desses animais do rebanho é escolhido ao acaso e está com febre aftosa, a probabilidade de que seja um boi é de, aproximadamente:

A) 4%
B) 12%
C) 23%
D) 27%

Olá meu caro, a sua questão deixou-me intrigada e a pensar durante algum tempo, mas acho que lhe consigo dar uma resposta, nem que seja só a minha opinião.

Para resolver a questão vamos tentar descodificar o enunciado. Sugiro que comecemos pelo primeiro parágrafo.
Para percebermos o que nos é dito, vamos reescrever o excerto "a probabilidade de um animal de um desses grupos estar com febre aftosa é de 0,04 e 0,08, respectivamente" : a probabilidade de um animal estar com febre aftosa, sabendo que é boi, é de 0,04; a probabilidade de um animal estar com febre aftosa, sabendo que é vaca, é de 0,08.

A: O animal escolhido é boi
B: O animal escolhido está com febre aftosa

\(P(A)=0,375\; \; e\; \; P(\overline{A})=0,625\)

Agora que já definimos os acontecimentos e calculámos a probabilidade de o animal ser boi e a probabilidade de o animal ser vaca (complementar de A) diretamente a partir do enunciado, vamos indicar os dados que nos são fornecidos no parágrafo que anteriormente organizámos.

\(P(B|A)=0,04\) e \(P(B|\overline{A})=0,08\)

Repare que nos é pedido a probabilidade de o animal escolhido durante a fiscalização ser boi, sabendo que está com febre aftosa, ou seja, \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) , então precisamos de descobrir P(B) .

\(P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\Leftrightarrow \, P(A\cap B)=0,04\times 0,375\Leftrightarrow \, P(A\cap B)=0,015\)

Por outro lado, \(P(B|\overline{A})=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})}\Leftrightarrow \, P(B|\overline{A})=\frac{P(B)-P(A\cap B)}{P(\overline{A})}\Leftrightarrow 0,08=\frac{P(B)-0,015}{0,625}\Leftrightarrow \, P(B)=0,065\)

Por fim, \(P(A|B)=\frac{0,015}{0,065}\Leftrightarrow \, P(A|B)=0,23\) , isto é, 23 % , logo a opção correta é a C) .
Espero ter ajudado. Qualquer dúvida, não hesite em dizer.

Novamente fico muito agradecido Telma. A resposta realmente é a letra C) 23%, desculpe por esquecer de mencionar isso no post anterior.

Uma figura que você postou não está aparecendo aqui, mas consegui entender grande parte da resolução.
Só fiquei com dúvida nessa parte, talvez por ainda não ter muita prática com esse assunto:

\(P(B|\overline{A})=\frac{P(\overline{A}\cap%20B)}{P(\overline{A})}\Leftrightarrow%20\,%20P(B|\overline{A})=\frac{P(B)-P(A\cap%20B)}{P(\overline{A})}\Leftrightarrow%200,08=\frac{P(B)-0,015}{0,625}\Leftrightarrow%20\,%20P(B)=0,065\)


Gostaria de saber porquê o \({P(\overline{A}\cap%20B)}\) é igual a \({P(B)-P(A\cap%20B)\) que você fez da primeira para a segunda fração.

No mais já considero a pergunta respondida, faz sentido e deu igual à resposta original da banca.

Olá hash, eu corrigi a mensagem anterior e espero que agora você tenha acesso a toda a resolução.

Vou demonstrar \(P\left (\overline{A}\cap B \right )=P(B)-P(A\cap B)\) através de esquemas.





A interseção do complementar de A com o conjunto B diz respeito à parte do conjunto B que está simultaneamente pintada a verde e com tracejado preto por cima. No segundo esquema podemos verificar que a interseção do complementar de A com B é equivalente ao conjunto B menos a interseção deste conjunto com o próprio conjunto A, ou seja, subtraimos \(A\cap B\) ao conjunto B.
.

Espero ter explicado melhor. Caso tenha alguma dúvida deixe-me saber.

Perfeito, sem mais dúvidas, muitíssimo obrigado!