Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá,

Me ajudem a resolver esta questão, por favor:

Se \((x+y*i)*(2-i)=20\), então x+y vale _____

Muito obrigado.

Sylvais,
seja bem-vindo!

\((x + yi)(2 - i) = 20\)

Aplicando distributiva...

\(2x - xi + 2yi - yi^2 = 20\)

\(2x - xi + 2yi - y \cdot (- 1) = 20\)

\(2x - xi + 2yi + y = 20\)

Separando a parte real e a parte imaginária...

\((2x + y) + (- x + 2y)i = 20\)

Montemos um sistema...

\(\begin{cases} 2x + y = 20 \\ - x + 2y = 0 \,\,\,\,\,\, \times (2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x + y = 20 \\ - 2x + 4y = 0 \end{cases}\)

\(2x - 2x + y + 4y = 20 + 0\)

\(5y = 20\)

\(\fbox{y = 4}\)

Da segunda equação do sistema, tiramos...
\(\\ - x + 2y = 0 \\\\ x = 2y \\\\ x = 2 \cdot 4 \\\\ \fbox{x = 8}\)

Logo,
\(\fbox{\fbox{x + y = 12}}\)

Espero ter ajudado e tenha um bom ano.

Daniel Ferreira

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Daniel Ferreira
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Bom dia .

Dados números complexos \(Z_1 = x + yi ; Re(Z_1) = x , Im(Z_1) = y\) e \(Z_2 = 2 -i ; Re(Z_2) = 2 , Im(Z_2) = -1\) .

Temos , \(Z_1 \cdot Z_2 = (x+yi)(2-i) = 2x + 2yi -xi -(yi)i = 2x + 2yi - xi + y = (2x + y ) +(2y-x)i\) .


Note que o produto \(Z_1 \cdot Z_2\) gerou um outro número complexo que vamos denotar por \(Z_3\) .

Onde : \(Re(Z_3) = 2x + y\) e \(Im(Z_3) = 2y -x\) .

Assim segue que , \(Z_3 = 20 = 20 + 0 \cdot i\) .


A conclusão é que esta igualdade sera verdadeira sse (\(\iff\) ) \(\begin{cases} 2x + y = 20 \\ 2y - x = 0 \end{cases} \sim 2 L_2 + L_1 \rightarrow L_1 \begin{cases} 5y = 20 \\ 2y - x = 0 \end{cases} 1/5 L_1 \rightarrow L_1 \begin{cases} \sim \begin{cases} + y = 4 \\ 8 - x = 0 \end{cases}\) cujo o conjunto solução é \(\{4,8\}\) .

Verificando a solução \((8 +4i)(2-i) = 16 - 8i + 8i + 4i(-i) = 16 + 0 - 4(i^2) = 16 + -4(-1) = 16 + 4 = 20\) . OK!


Logo , \(x +y = 12\) .

Espero que ajude .



Editado :

desculpe .Quando comecei formular a resposta , este tópico estava sem a resposta .

Prezado Santhiago,
não precisa se desculpar, colaborações construtivas são sempre bem-vindas.

Até logo!

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Daniel Ferreira
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Muito obrigado, Daniel Ferreira e Santhiago.

Bom 2013!

Não há de quê, meu caro!

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Daniel Ferreira
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