Todas as dúvidas que tiver sobre números complexos, multiplicação, divisão, módulo, ângulo, raiz
01 jan 2013, 01:27
Olá,
Me ajudem a resolver esta questão, por favor:
Se \((x+y*i)*(2-i)=20\), então x+y vale _____
Muito obrigado.
01 jan 2013, 13:34
Sylvais,
seja bem-vindo!
\((x + yi)(2 - i) = 20\)
Aplicando distributiva...
\(2x - xi + 2yi - yi^2 = 20\)
\(2x - xi + 2yi - y \cdot (- 1) = 20\)
\(2x - xi + 2yi + y = 20\)
Separando a parte real e a parte imaginária...
\((2x + y) + (- x + 2y)i = 20\)
Montemos um sistema...
\(\begin{cases} 2x + y = 20 \\ - x + 2y = 0 \,\,\,\,\,\, \times (2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + y = 20 \\ - 2x + 4y = 0 \end{cases}\)
\(2x - 2x + y + 4y = 20 + 0\)
\(5y = 20\)
\(\fbox{y = 4}\)
Da segunda equação do sistema, tiramos...
\(\\ - x + 2y = 0 \\\\ x = 2y \\\\ x = 2 \cdot 4 \\\\ \fbox{x = 8}\)
Logo,
\(\fbox{\fbox{x + y = 12}}\)
Espero ter ajudado e tenha um bom ano.
Daniel Ferreira
01 jan 2013, 14:00
Bom dia .
Dados números complexos \(Z_1 = x + yi ; Re(Z_1) = x , Im(Z_1) = y\) e \(Z_2 = 2 -i ; Re(Z_2) = 2 , Im(Z_2) = -1\) .
Temos , \(Z_1 \cdot Z_2 = (x+yi)(2-i) = 2x + 2yi -xi -(yi)i = 2x + 2yi - xi + y = (2x + y ) +(2y-x)i\) .
Note que o produto \(Z_1 \cdot Z_2\) gerou um outro número complexo que vamos denotar por \(Z_3\) .
Onde : \(Re(Z_3) = 2x + y\) e \(Im(Z_3) = 2y -x\) .
Assim segue que , \(Z_3 = 20 = 20 + 0 \cdot i\) .
A conclusão é que esta igualdade sera verdadeira sse (\(\iff\) ) \(\begin{cases} 2x + y = 20 \\ 2y - x = 0 \end{cases} \sim 2 L_2 + L_1 \rightarrow L_1 \begin{cases} 5y = 20 \\ 2y - x = 0 \end{cases} 1/5 L_1 \rightarrow L_1 \begin{cases} \sim \begin{cases} + y = 4 \\ 8 - x = 0 \end{cases}\) cujo o conjunto solução é \(\{4,8\}\) .
Verificando a solução \((8 +4i)(2-i) = 16 - 8i + 8i + 4i(-i) = 16 + 0 - 4(i^2) = 16 + -4(-1) = 16 + 4 = 20\) . OK!
Logo , \(x +y = 12\) .
Espero que ajude .
Editado :
desculpe .Quando comecei formular a resposta , este tópico estava sem a resposta .
01 jan 2013, 15:22
Prezado Santhiago,
não precisa se desculpar, colaborações construtivas são sempre bem-vindas.
Até logo!
01 jan 2013, 17:38
Muito obrigado, Daniel Ferreira e Santhiago.
Bom 2013!
01 jan 2013, 18:09
Não há de quê, meu caro!
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