Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá,estou começando a estudar números complexos e fiquei em dúvida em uma questão no qual eu achei estranha
A questão e
Extraia a raiz quadrada de z=-2i
Eu fiz assim
z=0-2i
Raiz de Z=Raiz de -2i=a+bi
que depois ficou
-2i=a²+2abi+b²i²
-2i=a²+2abi-b²

Sistema:
-2=2ab
0=a²-b²

substituindo fica -2=2ab
ab=-2 dividido por 2 = -1
Então ou o a=-1 ou b=-1

Se caso o a=-1
Ficaria: Raiz quadrada de Z=-1+i
E Raiz quadrada de Z=-1-i

Se caso o b=-1
Ficaria: Raiz quadrada de Z=1-i
E Raiz quadrada de Z=-1-i

E ai que está a minha dúvida
Por ser Raiz Quadrada do número complexo teria que ter somente 2 raizes mais no caso eu achei 4 e agora?
Se alguém poder tirar a minha dúvida,eu agradeço

Oi, você deveria encontrar apenas 2 raízes. Minha sugestão é você usar a forma trigonométrica do número complexo para encontrar as raízes. Se não me falham as contas essa 2 raízes devem ser \(1-i\) e \(i-1\).

_________________
Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}

-1+i
-1-i
1-i
-1-i

-1-i aparece duas vezes
Então na verdade são 3 raízes -1+i , -1-i ,1-i ,eu não sei porque eu achei 3 raízes
Fraol eu vou seguir a sua dica,usarei a forma trigonométrica assim que eu acabar geometria,obrigado.

Ok, vamos discutir um pouco a questão, começando com:


Isolando o a temos \(a = \left| b \right| \Leftrightarrow a= b, a=-b\), concorda?


Aqui, por favor, me explica um pouco mais pois não entendi o seu desenvolvimento:

_________________
Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}

a²-b²=0
a²=b²
a=+-Raiz de b²
a=+- b
Foi assim que eu fiz,será que eu confunde alguma coisa?


-2=2ab
2ab=-2
ab=-2/2
ab=-1
Eu pensei assim se ab=-1 então ou o a=-1 ou o b=-1
Será que pode fazer isso?

Oi,

De \(a^2 = b^2\) chegar em \(a = +- b\) está ok (não confunde não = é a mesma coisa que o módulo).

Na segunda equação você tem \(ab=-1\) e daí chegamos em \(a = -\frac{1}{b}\)

Agora vamos substituir \(a = +- b\) em \(a = -\frac{1}{b}\)

\(a=b\): \({b = -\frac{1}{b}} \Rightarrow {b^2 = -1}\) e isso não existe nos reais, pois estamos considerando \({a,b}\) reais certo?

\(a=-b\): \({-b = -\frac{1}{b}} \Rightarrow {b^2 = -1}\) então \({b = +-1}\)

Então nós temos duas situações:

\(a=-b, b=1\) : a raíz vale \(-1 + i\)

\(a=-b, b=-1\) : a raíz vale \(1 - i\)

que são as duas raízes quadradas de \(-2i\).

_________________
Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}

Hum,parece que eu errei na equação ab=-1
Quais livros de matemática você usa?

Oi, não uso um livro em especial. Creio que os livros didáticos destinado aos Ensino Médio aqui no Brasil, em geral, são bons. Vou citar alguns, sem preferência, que tratam do assunto Números Complexos entre outros:

IEZZI, Gelson et al. Matemática Ciência e Aplicações, 3a. Série. Ensino Médio. São Paulo. Atual Editora. 2004.

ISHIRARA, Cristiane A. & SANTOS, Neide A. P. Matemática Ensino Médio Vol. 3. Brasília. CIB - Cisbrasil, 2007.

SMOLE, Kátia C. S. & DINIZ, Maria I. Matemática Ensino Médio Vol. 3. São Paulo. Editora Saraiva, 2003.

SOUZA, Joamir. Novo Olhar Matemática Vol. 3 - 1a. ed. São Paulo. Editora FTD. 2010.

_________________
Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}

Mais você sabe de algum em volume único que seja bom?

Oi, ontem passei aqui no fórum e acabei entretido em outra questão. Bom, quanto à sua última questão sei que existe o volume único do IEZZI, o do Antonio Machado e o do Bonjorno. Se você pesquisar na rede deve encontrar outros. Quanto ao ser bom, continuo com a opinião que nesse nível a abordagem dos livros é muito parecida e a priori todos são bons. Tem uma coleção (3 livros) "A Matemática no Ensino Médio" do pessoal do IMPA ( Elon L. Lima e outros ) que tem uma abordagem um pouco diferenciada e é boa também.

_________________
Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}