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Tentei fazer mais a solução esbarra em uma equação de 4º grau da forma: ax^4 + bx^2 + cx + d. Acredito que exista uma forma mais simples de resolver por se tratar de uma questão de ensino medio.

Parece-me que tentou usar a expressão retângular de um número complexo

\(z=a+ib\)

Porque não usa a fórmula polar?

\(z=r e^{i\alpha}\)

\(z^3=\overline{z}\)

então

\(\left(r e^{i\alpha}\right)^3=\overline{r e^{i\alpha}}\)

\(r^3 e^{3 i\alpha}=r e^{i(\alpha+\pi)}\)

\(r^2 e^{3 i\alpha}=e^{i(\alpha+\pi)}\)

Um complexo é igual a outro, quando os seus módulos e ângulos são iguais

\(\left\{\begin{matrix} 3 i\alpha=i(\alpha+\pi)\\ r^2={1} \end{matrix}\right. \ \ r , \alpha \in \R \ \wedge \ r\geq {0} \ \wedge \ {0}\leq \alpha < {2} \pi\)

\(\left\{\begin{matrix} 2 i \alpha=i \pi\\ r^2={1} \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} \alpha=\pi/2 \\ r={1} \end{matrix}\right.\)

O número é então \(z=1.e^{i \pi/2}=i\)

e está certo, confirme que

\(i^3=\overline{i}\)

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João Pimentel Ferreira
 
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A sua resposta só dá uma única solução, mas na verdade são cinco e se for verificado verás que realmnente fazem parte da solução.

Resposta:

z = 0, ou i ou -i ou 1 ou -1

Caro

Fiz confusão nos conceitos.

O conjugado é apenas fazer o simétrico da parte imaginária

\(\overline{a+ib}=a-ib\)

Ora então

\(\overline{r e^{\alpha i}}=r e^{- \alpha i}\)

depois o raciocínio é semelhante...

\(\left(r e^{i\alpha}\right)^3=\overline{r e^{i\alpha}}\)

\(r^3 e^{3 i\alpha}=r e^{-i\alpha}\)

\(r^2 e^{3 i\alpha}=e^{-i\alpha}\)

\(r^2 e^{3 i\alpha}e^{i\alpha}=1\)

\(r^2 e^{4 i\alpha}=1\)

\(r^2 e^{4 i\alpha}=e^{0.i}\)

repara que quando \(\alpha=\pm \frac{\pi}{2}\) ficamos com \(e^{\pm i 2\pi }=1\)

e repara que para \(r^2={1}\) temos que \(r=\pm 1\)

fazendo as combinações tens esses valores...

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