Todas as dúvidas que tiver sobre números complexos, multiplicação, divisão, módulo, ângulo, raiz
19 Oct 2012, 22:37
Tentei fazer mais a solução esbarra em uma equação de 4º grau da forma: ax^4 + bx^2 + cx + d. Acredito que exista uma forma mais simples de resolver por se tratar de uma questão de ensino medio.
20 Oct 2012, 00:54
Parece-me que tentou usar a expressão retângular de um número complexo
\(z=a+ib\)
Porque não usa a fórmula polar?
\(z=r e^{i\alpha}\)
\(z^3=\overline{z}\)
então
\(\left(r e^{i\alpha}\right)^3=\overline{r e^{i\alpha}}\)
\(r^3 e^{3 i\alpha}=r e^{i(\alpha+\pi)}\)
\(r^2 e^{3 i\alpha}=e^{i(\alpha+\pi)}\)
Um complexo é igual a outro, quando os seus módulos e ângulos são iguais
\(\left\{\begin{matrix} 3 i\alpha=i(\alpha+\pi)\\ r^2={1} \end{matrix}\right. \ \ r , \alpha \in \R \ \wedge \ r\geq {0} \ \wedge \ {0}\leq \alpha < {2} \pi\)
\(\left\{\begin{matrix} 2 i \alpha=i \pi\\ r^2={1} \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} \alpha=\pi/2 \\ r={1} \end{matrix}\right.\)
O número é então \(z=1.e^{i \pi/2}=i\)
e está certo, confirme que
\(i^3=\overline{i}\)
20 Oct 2012, 02:54
A sua resposta só dá uma única solução, mas na verdade são cinco e se for verificado verás que realmnente fazem parte da solução.
Resposta:
z = 0, ou i ou -i ou 1 ou -1
21 Oct 2012, 20:20
Caro
Fiz confusão nos conceitos.
O conjugado é apenas fazer o simétrico da parte imaginária
\(\overline{a+ib}=a-ib\)
Ora então
\(\overline{r e^{\alpha i}}=r e^{- \alpha i}\)
depois o raciocínio é semelhante...
\(\left(r e^{i\alpha}\right)^3=\overline{r e^{i\alpha}}\)
\(r^3 e^{3 i\alpha}=r e^{-i\alpha}\)
\(r^2 e^{3 i\alpha}=e^{-i\alpha}\)
\(r^2 e^{3 i\alpha}e^{i\alpha}=1\)
\(r^2 e^{4 i\alpha}=1\)
\(r^2 e^{4 i\alpha}=e^{0.i}\)
repara que quando \(\alpha=\pm \frac{\pi}{2}\) ficamos com \(e^{\pm i 2\pi }=1\)
e repara que para \(r^2={1}\) temos que \(r=\pm 1\)
fazendo as combinações tens esses valores...
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