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 Título da Pergunta: Definicao de Limite, segundo Heine
MensagemEnviado: 10 abr 2016, 19:07 
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Boas!

Fiquei as aranhas com esta definicao... (Anexo)

De que forma posso (ou devo) usar isso num exercicio? Vou dar o seguinte exemplo:
\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}\;=\;-4\)
De forma tradicional, \(f(-2)=\frac{0}{0}\), coisa que nao e possivel

Posso implementar essa definicao neste exercicio? Se nao, esta definicao podera ser-me util num exame, com outro exercicio?


Anexos:
WP_20160410_19_02_36_Rich.jpg
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~C. Dinis
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MensagemEnviado: 10 abr 2016, 20:09 
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Boa tarde!

Neste caso pode fazer assim:
\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}=\lim_{x\to-2}\frac{\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{x+2}}=\lim_{x\to-2}x-2=-2-2=-4\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles


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MensagemEnviado: 10 abr 2016, 20:23 
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O que procuro e o porque dessa definicao ser importante.
Ou se apenas se trata de uma definicao generica de limite que, em termos de exame, nao me serve de muito :)

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Cumprimentos!
~C. Dinis


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MensagemEnviado: 10 abr 2016, 21:49 
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Acabei por encontrar a minha resposta neste video: https://www.youtube.com/watch?v=U9SS2iDLefQ "Limites de Sucessões - Limite segundo Heine - Matemática 12.º Ano" por ExplicaMat
A minha duvida era como aplicar essa definicao a um exercicio pratico.

No meu caso,
dininis Escreveu:
\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}\;=\;-4\)


\(\lim \;f(U_{n})\;=\;\lim\frac{U_{n}^{2}-4}{U_{n}+2}\;=\;\frac{(-2)^{2}-4}{(-2)+2}\;=\;\varnothing\)


Pelo que percebi deste video, segundo a definicao de Heine, este exercicio nao tem solucao.
Estou correto?

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Cumprimentos!
~C. Dinis


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MensagemEnviado: 10 abr 2016, 22:56 
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O gráfico que você colocou mostra exatamente o porque dessa resposta.

quando você se aproxima de a, pela direita, a função tende para b. Quando você tende a se aproximar de a, pela esquerda, a função também tende para b.

Como a função é (x² - 4)/(x + 2) e se pegarmos x = - 2,01 (por exemplo), temos que a função será 0,0401/-0,01 = -4,01
se x = - 1,99, teríamos: -0,0399/0,01 = -3,99
Observe que os números se aproximam de -4. Quanto mais próximo você chegar de -2, diminuindo o erro, o resultado mais vai se aproximar de -4.
Mas, para se chegar ao - 4, usamos a técnica apresentada pelos colegas.


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MensagemEnviado: 10 abr 2016, 23:16 
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dininis Escreveu:
Acabei por encontrar a minha resposta neste video: https://www.youtube.com/watch?v=U9SS2iDLefQ "Limites de Sucessões - Limite segundo Heine - Matemática 12.º Ano" por ExplicaMat
A minha duvida era como aplicar essa definicao a um exercicio pratico.

No meu caso,
dininis Escreveu:
\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}\;=\;-4\)


\(\lim \;f(U_{n})\;=\;\lim\frac{U_{n}^{2}-4}{U_{n}+2}\;=\;\frac{(-2)^{2}-4}{(-2)+2}\;=\;\varnothing\)


Pelo que percebi deste video, segundo a definicao de Heine, este exercicio nao tem solucao.
Estou correto?


Pelo que eu percebi da sua questão, você deve verificar se o limite apresentado bate com a definição.

Veja que, como Baltuilhe afirmou, \(\frac{x^2-4}{x+2} = x-2\)

Perceba que para todo valor \(x > -2\), se \(n > 0\), então \((x-n)-2 < x-2\). Provando que \(x-2\) converge a direita de \(-4\) para \(x > -2\).
Do mesmo modo, perceba que para todo valor \(x < -2\), se \(n > 0\), então \((x+n)-2 > x-2\). Provando que \(x-2\) converge a esquerda de \(-4\) para \(x < -2\).

Essas duas frases acima provam que o limite que você apresentou bate com a definição.


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MensagemEnviado: 11 abr 2016, 15:06 
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A definição de limite segundo Heine permite justificar de forma trivial qualquer limite que não envolva indeterminação. Isso pode não parecer importante, mas do ponto de vista da fundamentação é muito relevante... Por exemplo, se quiser justificar que
\(\lim_{x \to 0} (x+2) = 2\)

basta considerar uma qualquer sucessão \(u_n \to 0\) e mostrar que \(f(u_n) \to 2\). Neste caso

\(\lim f(u_n)= \lim (u_n+2) = 2 +\lim u_n = 2+0={2}\)

Se o limite envolver alguma indeterminação as manipuçaões que temos que realizar são equivalente às que são necessaŕias para levantar a indeterminação por mieos convencionais. No caso que apresenta, tomando uma sucessão \(u_n \to -2\)

\(\lim f(u_n)= \lim \frac{u_n^2-4}{u_n +2}=\lim \frac{(u_n-2)(u_n+2)}{u_n+2} = \lim(u_n-2) = -2-2=-4\)


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