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| Cálculo dos zeros da derivada https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=10701 |
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| Autor: | TheUltimateCross [ 21 mar 2016, 16:30 ] |
| Título da Pergunta: | Cálculo dos zeros da derivada |
Boas tardes pessoal! Alguém me pode explicar a seguinte questão? 1. Calcula a derivada e os zeros da derivada da função: \(A(X)= 2xln(x+1)-\frac{x^2}{2}\) Obrigado! |
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| Autor: | 3,14159265 [ 23 mar 2016, 09:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo dos zeros da derivada |
A'(x) = 2ln(x+1) + 2x * 1/(x+1) * 1 - 2x/2 A'(x) = 2ln(x+1) + 2x/(x+1) - x Calculando os zeros: 0 = 2ln(x+1) + 2x/(x+1) - x 0 = 2ln(u) + (2u-2)/u - (u-1) 0 = 2ln(u) + 2 - 2/u - u + 1 0 = 2ln(u) - 2/u + 2 - u + 1 Pela natureza injetora das funções (logarítmica, exponencial e primeiro grau), dá pra concluir que só há um zero pra essa função. Só de olhar pra equação já dá pra ver que u = 1 satisfaz a igualdade. Como u = x + 1, x = 0. Pode ser que haja outra forma de achar o zero da função, mas eu não consegui. |
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| Autor: | 3,14159265 [ 23 mar 2016, 09:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo dos zeros da derivada |
Cara, pensei melhor aqui e a afirmação sobre as funções serem injetoras não levam à conclusão de que só há um zero. De qualquer forma, x = 0 é raiz da função derivada. |
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| Autor: | Sobolev [ 23 mar 2016, 18:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo dos zeros da derivada |
O único zero da segunda derivada (no domínio de A(x)...) é \(x=\sqrt{3}\). Observando o sinal de A'' verá que A' vai ser crescente até \(x=\sqrt{3}\) e decrescente a partir daí. Na verdade isto acaba por garantir que A' vai ter um e um só zero no intervalo \(]-1, \sqrt{3}[\) e um outro zero, único, no intervalo \(]\sqrt{3}, + \infty[\). Um deles, x = 0, o 3,14159265 já mencionou. O outro é aproximadamente 5.40015, mas não consegui obter analiticamente (usei o método de Newton). |
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| Autor: | TheUltimateCross [ 23 mar 2016, 23:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo dos zeros da derivada |
Sobolev, eu quero os zeros da primeira derivada. Alguém me pode explicar como calcular todos os zeros existentes? |
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| Autor: | Sobolev [ 29 mar 2016, 07:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo dos zeros da derivada |
Bom dia, Quando falei dos zeros de segunda derivada e do seu sinal foi para justificar que A' tem exactamente 2 zeros. Um deles é x = 0. O outro, tanto quanto consigo ver, apenas pode ser calculado com recurso a métodos numéricos. |
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