Funções crescentes, decrescentes, monótonas, pares, ímpares, derivadas no ponto, etc.
21 mar 2016, 16:30
Boas tardes pessoal!
Alguém me pode explicar a seguinte questão?
1. Calcula a derivada e os zeros da derivada da função:
\(A(X)= 2xln(x+1)-\frac{x^2}{2}\)
Obrigado!
23 mar 2016, 09:10
A'(x) = 2ln(x+1) + 2x * 1/(x+1) * 1 - 2x/2
A'(x) = 2ln(x+1) + 2x/(x+1) - x
Calculando os zeros:
0 = 2ln(x+1) + 2x/(x+1) - x
0 = 2ln(u) + (2u-2)/u - (u-1)
0 = 2ln(u) + 2 - 2/u - u + 1
0 = 2ln(u) - 2/u + 2 - u + 1
Pela natureza injetora das funções (logarítmica, exponencial e primeiro grau), dá pra concluir que só há um zero pra essa função.
Só de olhar pra equação já dá pra ver que u = 1 satisfaz a igualdade. Como u = x + 1, x = 0.
Pode ser que haja outra forma de achar o zero da função, mas eu não consegui.
23 mar 2016, 09:17
Cara, pensei melhor aqui e a afirmação sobre as funções serem injetoras não levam à conclusão de que só há um zero. De qualquer forma, x = 0 é raiz da função derivada.
23 mar 2016, 18:57
O único zero da segunda derivada (no domínio de A(x)...) é \(x=\sqrt{3}\). Observando o sinal de A'' verá que A' vai ser crescente até \(x=\sqrt{3}\) e decrescente a partir daí. Na verdade isto acaba por garantir que A' vai ter um e um só zero no intervalo \(]-1, \sqrt{3}[\) e um outro zero, único, no intervalo \(]\sqrt{3}, + \infty[\). Um deles, x = 0, o 3,14159265 já mencionou. O outro é aproximadamente 5.40015, mas não consegui obter analiticamente (usei o método de Newton).
23 mar 2016, 23:11
Sobolev, eu quero os zeros da primeira derivada. Alguém me pode explicar como calcular todos os zeros existentes?
29 mar 2016, 07:45
Bom dia,
Quando falei dos zeros de segunda derivada e do seu sinal foi para justificar que A' tem exactamente 2 zeros. Um deles é x = 0. O outro, tanto quanto consigo ver, apenas pode ser calculado com recurso a métodos numéricos.
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