(ITA-1963) Função e inequação do segundo grau

[ludwing]

Quais as condições a que deve satisfazer m para que o número 1 esteja entre as raízes da função f(x) = mx² -2(m + 1)x + m² ?

Gente, encontrei uma solução na internet, apenas uma, em outros lugares ninguem conseguiu em encontrar o resultado correto. O problema é que essa solução não explicou a lógica por tras da pergunta e pelo que eu li, por ser uma questão antiga quase não se ensina mais como se resolve esse tipo de problema, o que eu pude perceber, já que li 3 cápitulos diferentes em 3 livros, vi videoaulas no youtube etc e nem sinal de como se resolve isso.
Bom, segundo a pessoa que resolveu esse problema, toda vez que a > 0, f(1) < 0 ou toda vez que a < 0, f(1) > 0. Vou postar a imagem do gráfico que prova isso:

Anexos

Com P = 1 ou todo P que estiver entre as raízes x1 e x2. Assim f(P) > 0 se a < 0 ou f(P) < 0 se a > 0.

tutor.jpg (39.82 KiB) Visualizado 1910 vezes

[ludwing]

Quais as condições a que deve satisfazer m para que o número 1 esteja entre as raízes da função f(x) = mx² -2(m + 1)x + m² ?

Gente, encontrei uma solução na internet, apenas uma, em outros lugares ninguem conseguiu em encontrar o resultado correto. O problema é que essa solução não explicou a lógica por tras da pergunta e pelo que eu li, por ser uma questão antiga quase não se ensina mais como se resolve esse tipo de problema, o que eu pude perceber, já que li 3 cápitulos diferentes em 3 livros, vi videoaulas no youtube etc e nem sinal de como se resolve isso.
Bom, segundo a pessoa que resolveu esse problema, toda vez que a > 0, f(1) < 0 ou toda vez que a < 0, f(1) > 0. Vou postar a imagem do gráfico que prova isso:

Minha conexão caiu antes de terminar a pergunta, mas concluindo, para fazer o estudo dos sinais depois, o autor da resposta fez como mostra na imagem: a . f(1) = sempre negativo
pois: a < 0 (negativo) . f(1) > 0 (positivo) = negativo ou a > 0 (positivo) . f(1) < 0 (negativo) = negativo.
O que ninguém conseguiu explicar nos fóruns foi esse negocio de multiplicar a . f(1) ou m . f(1) já que a = m.
Vou postar uma imagem do quadro de sinais para terem uma ideia: Ps: m(m-2)(m+1) é f(1) = m² - m - 2 fatorado.

Anexos

fig261.gif (3.15 KiB) Visualizado 1909 vezes

[Sobolev]

Se \(m>0\) a parábola tem a concavidade voltada para cima, por isso a condição de 1 estar entre as raizes é equivalente a termos \(f(1) \leq 0\). Mas

\(f(1) \leq 0 \Leftrightarrow m^2-m-2 \leq 0 \Leftrightarrow m \in [-1, 2]\)

Portanto, se m for positivo devemos ter \(m \in ]0, 2]\)

Se \(m < 0\) a parábola tem a concavidade voltada para baixo e a condição e 1 estar entre as raizes é \(f(1) \ge 0\). Novamente,

\(f(1) \ge 0 \Leftrightarrow m^2-m-2 \ge 0 \Leftrightarrow m \in ]-\infty, -1] \cup [2, +\infty[\)

Portanto, se m for negativo devemos ter \(m \in ]-\infty, -1]\).

Juntando as duas condições, concluímos que ( se \(m \ne 0\)) devemos ter

\(m \in ]-\infty,-1] \cup ]0, 2]\)

[ludwing]

Se \(m>0\) a parábola tem a concavidade voltada para cima, por isso a condição de 1 estar entre as raizes é equivalente a termos \(f(1) \leq 0\). Mas

\(f(1) \leq 0 \Leftrightarrow m^2-m-2 \leq 0 \Leftrightarrow m \in [1- \sqrt{3}, 1+ \sqrt{3}]\)

Portanto, se m for positivo devemos ter \(m \in ]0, 1+ \sqrt{3}[\)

Se \(m < 0\) a paráboloa tem a concavidade voltada para baixo e a condição e 1 estar entre as raizes é \(f(1) \ge 0\). Novamente,

\(f(1) \ge 0 \Leftrightarrow m^2-m-2 \ge 0 \Leftrightarrow m \in ]-\infty, 1- \sqrt{3}] \cup [1+ \sqrt{3}, +\infty[\)

Portanto, se m for negativo devemos ter \(m \in ]-\infty, 1- \sqrt{3}]\).

Juntando as duas condições, concluímos que ( se \(m \ne 0\)) devemos ter

\(m \in ]-\infty,1-\sqrt{3}] \cup ]0, 1+ \sqrt{3}]\)

Olha, sua resposta não existe no gabarito, a resposta correta que consta tanto no gabarito quanto nos exercícios que tem na internet é essa:
\(m \in ]-\infty, -1 [ U ] 0, 2 [\)

[Sobolev]

De facto cometi um erro ao determinar os zeros de \(m^2-m-2\), mas de resto a estrutura da resolução mantem-se. Vou corrigir no post inicial.

[Sobolev]

Repare que eu incluo m=-1 e m=2 porque considero que se x=1 coincidir com uma das raizes podemos dizer que está entre as raizes.