Definicao de Limite, segundo Heine
10 abr 2016, 19:07
Boas!
Fiquei as aranhas com esta definicao... (Anexo)
De que forma posso (ou devo) usar isso num exercicio? Vou dar o seguinte exemplo:
\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}\;=\;-4\)
De forma tradicional, \(f(-2)=\frac{0}{0}\), coisa que nao e possivel
Posso implementar essa definicao neste exercicio? Se nao, esta definicao podera ser-me util num exame, com outro exercicio?
Fiquei as aranhas com esta definicao... (Anexo)
De que forma posso (ou devo) usar isso num exercicio? Vou dar o seguinte exemplo:
\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}\;=\;-4\)
De forma tradicional, \(f(-2)=\frac{0}{0}\), coisa que nao e possivel
Posso implementar essa definicao neste exercicio? Se nao, esta definicao podera ser-me util num exame, com outro exercicio?
- Anexos
-
Re: Definicao de Limite, segundo Heine
10 abr 2016, 20:09
Boa tarde!
Neste caso pode fazer assim:
\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}=\lim_{x\to-2}\frac{\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{x+2}}=\lim_{x\to-2}x-2=-2-2=-4\)
Espero ter ajudado!
Neste caso pode fazer assim:
\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}=\lim_{x\to-2}\frac{\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{x+2}}=\lim_{x\to-2}x-2=-2-2=-4\)
Espero ter ajudado!
Re: Definicao de Limite, segundo Heine
10 abr 2016, 20:23
O que procuro e o porque dessa definicao ser importante.
Ou se apenas se trata de uma definicao generica de limite que, em termos de exame, nao me serve de muito
Ou se apenas se trata de uma definicao generica de limite que, em termos de exame, nao me serve de muito
Re: Definicao de Limite, segundo Heine
10 abr 2016, 21:49
Acabei por encontrar a minha resposta neste video: https://www.youtube.com/watch?v=U9SS2iDLefQ "Limites de Sucessões - Limite segundo Heine - Matemática 12.º Ano" por ExplicaMat
A minha duvida era como aplicar essa definicao a um exercicio pratico.
No meu caso,
\(\lim \;f(U_{n})\;=\;\lim\frac{U_{n}^{2}-4}{U_{n}+2}\;=\;\frac{(-2)^{2}-4}{(-2)+2}\;=\;\varnothing\)
Pelo que percebi deste video, segundo a definicao de Heine, este exercicio nao tem solucao.
Estou correto?
A minha duvida era como aplicar essa definicao a um exercicio pratico.
No meu caso,
dininis Escreveu:\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}\;=\;-4\)
\(\lim \;f(U_{n})\;=\;\lim\frac{U_{n}^{2}-4}{U_{n}+2}\;=\;\frac{(-2)^{2}-4}{(-2)+2}\;=\;\varnothing\)
Pelo que percebi deste video, segundo a definicao de Heine, este exercicio nao tem solucao.
Estou correto?
Re: Definicao de Limite, segundo Heine [resolvida]
10 abr 2016, 22:56
O gráfico que você colocou mostra exatamente o porque dessa resposta.
quando você se aproxima de a, pela direita, a função tende para b. Quando você tende a se aproximar de a, pela esquerda, a função também tende para b.
Como a função é (x² - 4)/(x + 2) e se pegarmos x = - 2,01 (por exemplo), temos que a função será 0,0401/-0,01 = -4,01
se x = - 1,99, teríamos: -0,0399/0,01 = -3,99
Observe que os números se aproximam de -4. Quanto mais próximo você chegar de -2, diminuindo o erro, o resultado mais vai se aproximar de -4.
Mas, para se chegar ao - 4, usamos a técnica apresentada pelos colegas.
quando você se aproxima de a, pela direita, a função tende para b. Quando você tende a se aproximar de a, pela esquerda, a função também tende para b.
Como a função é (x² - 4)/(x + 2) e se pegarmos x = - 2,01 (por exemplo), temos que a função será 0,0401/-0,01 = -4,01
se x = - 1,99, teríamos: -0,0399/0,01 = -3,99
Observe que os números se aproximam de -4. Quanto mais próximo você chegar de -2, diminuindo o erro, o resultado mais vai se aproximar de -4.
Mas, para se chegar ao - 4, usamos a técnica apresentada pelos colegas.
Re: Definicao de Limite, segundo Heine
10 abr 2016, 23:16
dininis Escreveu:Acabei por encontrar a minha resposta neste video: https://www.youtube.com/watch?v=U9SS2iDLefQ "Limites de Sucessões - Limite segundo Heine - Matemática 12.º Ano" por ExplicaMat
A minha duvida era como aplicar essa definicao a um exercicio pratico.
No meu caso,dininis Escreveu:\(\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-4}{x+2}\;=\;-4\)
\(\lim \;f(U_{n})\;=\;\lim\frac{U_{n}^{2}-4}{U_{n}+2}\;=\;\frac{(-2)^{2}-4}{(-2)+2}\;=\;\varnothing\)
Pelo que percebi deste video, segundo a definicao de Heine, este exercicio nao tem solucao.
Estou correto?
Pelo que eu percebi da sua questão, você deve verificar se o limite apresentado bate com a definição.
Veja que, como Baltuilhe afirmou, \(\frac{x^2-4}{x+2} = x-2\)
Perceba que para todo valor \(x > -2\), se \(n > 0\), então \((x-n)-2 < x-2\). Provando que \(x-2\) converge a direita de \(-4\) para \(x > -2\).
Do mesmo modo, perceba que para todo valor \(x < -2\), se \(n > 0\), então \((x+n)-2 > x-2\). Provando que \(x-2\) converge a esquerda de \(-4\) para \(x < -2\).
Essas duas frases acima provam que o limite que você apresentou bate com a definição.
Re: Definicao de Limite, segundo Heine
11 abr 2016, 15:06
A definição de limite segundo Heine permite justificar de forma trivial qualquer limite que não envolva indeterminação. Isso pode não parecer importante, mas do ponto de vista da fundamentação é muito relevante... Por exemplo, se quiser justificar que
\(\lim_{x \to 0} (x+2) = 2\)
basta considerar uma qualquer sucessão \(u_n \to 0\) e mostrar que \(f(u_n) \to 2\). Neste caso
\(\lim f(u_n)= \lim (u_n+2) = 2 +\lim u_n = 2+0={2}\)
Se o limite envolver alguma indeterminação as manipuçaões que temos que realizar são equivalente às que são necessaŕias para levantar a indeterminação por mieos convencionais. No caso que apresenta, tomando uma sucessão \(u_n \to -2\)
\(\lim f(u_n)= \lim \frac{u_n^2-4}{u_n +2}=\lim \frac{(u_n-2)(u_n+2)}{u_n+2} = \lim(u_n-2) = -2-2=-4\)
\(\lim_{x \to 0} (x+2) = 2\)
basta considerar uma qualquer sucessão \(u_n \to 0\) e mostrar que \(f(u_n) \to 2\). Neste caso
\(\lim f(u_n)= \lim (u_n+2) = 2 +\lim u_n = 2+0={2}\)
Se o limite envolver alguma indeterminação as manipuçaões que temos que realizar são equivalente às que são necessaŕias para levantar a indeterminação por mieos convencionais. No caso que apresenta, tomando uma sucessão \(u_n \to -2\)
\(\lim f(u_n)= \lim \frac{u_n^2-4}{u_n +2}=\lim \frac{(u_n-2)(u_n+2)}{u_n+2} = \lim(u_n-2) = -2-2=-4\)