Quando o limite entra na integral?

[Mr_Hoolands]

Bom, pessoal. Estava lendo uma demonstração e me veio uma dúvida. Quando podemos passar o limite para dentro da integral? Num primeiro momento me convenci que isso pode ocorrer quando a função for uniformemente contínua, mas gostaria de ouvir outras opiniões.

\lim_{x->k} \int_{a}^{b}f(x)dx

[Sobolev]

O limite que escreveu não faz sentido... Será que queria escrever

\(\lim_{y \to k} \int_a^b f(x,y) dx ?\)

[Mr_Hoolands]

Isso. Peço desculpas. Esqueci de trocar o parâmetro do limite e adicionar ao integrando.
O limite correto é:

\(\lim_{y->k}\int_{a}^{b}f(x,y)dx\)

[Sobolev]

A continuidade uniforme garante neste caso a possibilidade de passar o limite para dentro do integral. Para condições mais gerais (pensando que se trata de um integral de Lebesgue), pode utilizar os teoremas da convergência monótona ou da convergência dominada.

[Mr_Hoolands]

Obrigado. Realmente precisava confirmar essa ideia com alguém. Se souber de algum livro que trate diretamente disso agradeceria a recomendação, pois nos livros de Análise que tenho essa questão é tratada apenas com sequências de funções.