Determine o domínio da função f(x)=√(cos(x+∏/2)) sendo x variável real.

[Gaiden]

Determine o domínio da função f(x)=√(cos(x+∏/2)) sendo x variável real.

Desde já agradeço...

[lucasgg]

A função \(h(x) = sqrt{x}\) tem domínio \(\left[ 0, +\infty\right)\)

Portanto no caso de \(f(x) = \sqrt{\cos(x+\pi/2)}\) temos que \(\cos(x+\pi/2) \geq 0\)

A função \(\cos(x)\) só é positiva no primeiro e quarto quadrantes, portanto somente quando \(0 \le x + \pi/2 \le \pi/2\) ou \(3\pi/2 \le x + \pi/2 \le 2\pi\), ou seja, \(-\pi/2 \le x \le 0\) ou \(\pi \le x \le 3\pi/2\)

Como a função \(\cos(x)\) é periódica, então se repete positiva a cada período de \(2\pi\), portanto:

\(D(f) = \left[-\pi/2, 0\right] \cup \left[\pi, 3\pi/2\right] \cup \left[3\pi/2, 2\pi\right] \cup \left[3\pi, 7\pi/2\right] \cup \left[7\pi/2, 4\pi\right] \cup \left[5\pi, 11\pi/2\right] \cup \dots\)

Que, em outra notação, seria:

\(D(f) = \left{ x : -\pi/2 + 2\pi n \le x \le 0+2\pi n \vee \pi+2\pi n \le x \le 3\pi/2 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \right} = \left{ x : -\pi \le x - 2\pi n \le 0, n \in \mathbb{Z} \right}\)