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 Título da Pergunta: C(X,M) é completo ?
MensagemEnviado: 03 jul 2016, 21:32 
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Olá , a priori o objetivo deste post foi estabelecer sobre que hipóteses , a coleção das funções contínuas de um espaço topológico em um espaço métrico , pode se torna um espaço métrico usando a métrica do ambiente onde estas funções toma valores , e em caso afirmativo ,investigar quando este novo espaço métrico será completo ... Estou editando novamente , consertando alguns "typos" , incoerência com a notação e algumas correções .

Por favor , peço que avaliem minha demonstração , principalmente o lema 2 ...

Qualquer sugestão é bem vinda !

Desde já obrigado ...



Sejam \(X, W\) espaços topológicos e \((M,d_M)\) um espaço métrico .

Notações : \(Map(X,M)\) Coleção de todas funções \(X \longrightarrow M\)
\(C(X,M)\) Coleção de todas funções \(X \longrightarrow M\) contínuas
\(D(X,M)\) Coleção de todas funções descontínuas \(X \longrightarrow M\)


Observe-se que em geral \(Map(X,M)\) não tem uma estrutura de espaço métrico interessante , que por exemplo
convergência nesta métrica garantisse convergência uniforme .. Mas é possível , escrever esta família , como união disjunta de espaços métricos com tal propriedade .
Esta decomposição por sua vez nos motiva a definir pelo menos uma topologia mais 'nice' em \(Map(X,Y)\) , caso seja de interesse estudar certas propriedades topológicas , para famílias mais gerais de aplicações com comportamentos 'estranhos ' , declarando que um subconjunto desta coleção \(U\) será aberto sse ,
\(U\) é aberto relativamente a cada espaço métrico acima ..

Para a família \(B(X,M)\) das funções limitadas , definimos a métrica do sup (ou da convergência uniforme em \(X\) ) ) \(d_{\infty} (f,g) := \sup_{x} d_{M}(f(x),g(x))\) .

Agora, para cada \(f \in Map(X,M)\) , ponha \(B_{f}(X,M) := \{ g \in Map(X,M) : \sup_{x} d_{M}(f(x),g(x)) < + \infty \}\) . Em cada coleção destas (que não é vazia sempre !) faz sentindo definir uma métrica análoga a \(d_{\infty}\) da maneira óbvia

\((d_{\infty}^f (g,h) :=\sup_{x} d_{M}(h(x),g(x))\) ... Assim , cada \(B_{f}(X,M)\) torna-se um espaço métrico com esta métrica . Pode-se verificar que , \((\forall f,g)\) ou \(B_{f}(X,M) = B_{g}(X,M)\) ou são disjuntas .
Basta notar que \(B_{f}(X,M)\) é precisamente a classe de equivalência de \(f\) pela relação em \(\sim\) em \(Map(X,M)\) definida por
\(g \sim h\) sse \(\sup_{x} d_{M}(h(x),g(x)) < +\infty\) e portanto o coleção de todas estas classes \(Map(X,M) /_{\sim}\) é uma partição para \(Map(X,M)\) .

Note que \(B(X,M) = B_f(X,M)\) sse \(f \in B(X,M)\) , em particular vale a igualdade com \(f\) constante .
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Fatos :

(1) A é fechado em Y sse toda sequencia em A convergindo em Y converge em A .
Falso :
Correção :
Fui notificado por meu professor que a reciproca de (1) não vale em geral . Por exemplo ,tome qualquer conjunto \(G\) com pelo menos dois elementos com a topologia indiscreta
\(\{ G, \empty \}\) . Dado \(a \in G\) ,qualquer sequência de elementos de \(\{a\}\) é a sequência constante \((a,a,a,a, \dots )\) que é convergente em \(G\) e converge para \(a\) . Por outro lado , temos \(G \setminus \{a\} \notin \{G , \empty\}\) .Donde, \(\{ a\}\) não pode ser fechado em \((G, \{ G, \empty \} )\), . Entretanto , a outra direção sempre vale em geral .

Parece que em espaços métricos mais gerais (não triviais ) a volta também vale . De qualquer forma , vamos usar um argumento alternativo para evitar (1) .

(2) Seja \(F \in C(X,W)\) . Então , toda sequencia \((x_n) \subset X\) convergente , digamos para \(a\) , implica na convergência de \((F(x_n)) \subset W\) para \(F(a)\) .

(3) Defina a topologia produto em \(X \times W\) . Então ,

\((x_n,y_n) \subset X \times W\) converge para \((a,b)\) sse \(x_n \to a , y_n \to b\)

(4) Seja \((a_n ) \subset \mathbb{R}\) convergente. Então ,

Se \(a_n \leq R\) para \(n\) suficiente grande então \(\lim_{n} a_n \leq R\) .

(5) Se \((M, d_M)\) é completo, e \(S\)é um subespaço de \(M\) (com a métrica relativa \(d_M\) restrita a \(S \times S\) ) , então \(S\) é fechado em \(M\) sse \(S\) é completo .

Demonstração :

Se \(S\) não é completo afirmamos que \(S\) não é fechado . De fato , tome uma sequência de cauchy em \(S\) , digamos \((x_n)\) , que não converge em \(S\), mas que converge em \(M\) para \(a \in S^{C}\) .
Ora, dado qualquer \(\epsilon > 0\) , temos eventualmente \(x_n \in B_{\epsilon}^{d_M} (a)\) donde \(a\) não é ponto interior de \(S^{C}\) (e portanto \(S^C\) não é aberto) o que mostrar que \(S\) não é fechado .

Reciprocamente , se \(S\) não é fechado , então \(\overline{S} \setminus S\) não é vazio !
Fixe \(x_0 \in \overline{S} \setminus S\) . Para cada \(n = 1 , 2 , \dots\) , a bola centrada em \(x_0\) de raio \(1/n\) intercepta \(S\) . Tome \(x_n\) na intersecção .Então , temos \(d_{M} (x_n, x_0) < \frac{1}{n}\) .
Por construção , \((x_n)\) é uma sequência de elementos de \(S\) que converge em \(M\) para \(x_0 \in \overline{S} \setminus S\) .Como toda sequência convergente num espaço métrico é de Cauchy (Independente dele ser completo ou não ) , obtemos uma sequência de cauchy em \(S\) que não converge para ponto nenhum de \(S\) (Por unicidade do limite de sequência em Espaço métricos que são Espaço de Hausdorff com a topologia induzida pela métrica ) ,donde \(S\) não é completo .

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Lema 1 : Para cada \(f\) , \(C(X,M) \cap B_f(X,M)\) é um subespaço fechado de \(B_{f}(X,M)\) .

Dem .:
Este resultado é equivalente a mostrar que \(D(X,M) \cap B_f(X,M)\) é um subespaço aberto de \(B_{f}(X,M)\) .

Dado \(g \in D(X,M) \cap B_f(X,M)\) afirmamos que existe \(\delta > 0\) tal que \(B_{\delta}^{d_{\infty}^{f}}(g) \subseteq D(X,M) \cap B_f(X,M)\) . Como \(g\) não é contínua , existem \(x_0 \in X , \epsilon_0 > 0\) tal que
para todo \(U \ni x_0\) aberto (em \(X\) ) existe \(x :=x(U)\) tal que

\(x \in U\) , mas \(d_{M}( g(x) ,g(x_0)) > \epsilon_0\) .

Escolha \(0 < \epsilon_1 < \epsilon_0/2\) e ponha \(\epsilon^* := \epsilon_0 - 2\epsilon_1 > 0\) , \(\delta := \epsilon_1\) . Seja \(h \in B_{\delta}^{d_{\infty}^{f}}(g)\) (arbitrário )

Pela desigualdade do triângulo ,


\(\epsilon_0 < d_M(g(x),g(x_0)) \leq d_M(g(x) ,h(x)) + d_M(g(x_0), h(x_0)) + d_M(h(x),h(x_0)) \leq 2 d_{\infty}^f(g,h) + d_M(h(x_0), h(x)) < 2 \delta + d_M(h(x), h(x_0))\) , donde

\(d_M(h(x), h(x_0)) > \epsilon_0 - 2 \epsilon_1 = \epsilon^* > 0\) .

Logo , \(h\) não é contínua em \(x_0\) e assim temos \(h \in D(X,M) \cap B_f(X,M)\) donde resultado segue ...


Em particular a coleção \(C_B(X,M)\) das aplicações \(X : \longrightarrow M\) limitadas contínuas é um subespaço fechado de \(B(X,M)\) .
.


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 Título da Pergunta: Re: C(X,M) é completo ?
MensagemEnviado: 04 jul 2016, 14:15 
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Lema 2 :

Para cada \(f\) , \(B_f(X,M)\) é completo sse \(M\) o for .


Ida (=>) : Segue da imagem da inclusão de \(M\) em \(B(X,M)\) ser fechada no espaço \(B(X,M)\) que é completo por hipótese ; logo por (5) \(M\) é completo .

Volta(<=) : Tome uma sequência (arbitrária ) de Cauchy \(( g_n)\) em \(B_f(X,M)\) .
Pode-se verificar sem dificuldade que para cada \(x \in X\) , a sequência \((g_n(x))\) em \(M\) é de Cauchy ,e portanto converge para um (único) elemento de \(M\) .Escrevendo \(g(x)\) para designar este elemento , temos uma função \(g \in Map(X,M)\) bem definida que é o limite pontual da sequência \((g_n)_n\) .

Dado qualquer \(\epsilon > 0\) podemos tomar um índice \(N\) grande o suficiente ,tal que

\(d_{\infty}^f (g_n,g_m) < \epsilon\) para todo \(n,m > N (*)\) .

Afirmamos que se \(n > N\) então \(d_M(g(x),g_m(x)) < \epsilon\) para todo \(x \in X (**)\) .De fato ,
Considerando a topologia natural em \(M\) induzida por sua métrica ..\(M\) torna-se um espaço topológico .
Defina em \(M \times M\) a topologia produto .

Nota que \(U\) é aberto em \(M \times M\) sse \(\forall (a,b) \in U\) existe \(r > 0\) tal que
\(B_r^{d_M} (a) \times B_r^{d_M} (b) \subseteq U\) .

A seguinte estimativa

\(|d_{M} (x,y) - d_{M} (z,w) | \leq d_M(x,y) + d_M(z,w) \forall x , y ,z, w \in M\)

nos diz que

\(d_M\) é (uniformemente) contínua .


Para cada \(x \in M\) e \(n > N\) .Considere a sequência \((\gamma_m^n(x))_{m} )\) em \(M \times M\)
dada por \(\gamma_m^n(x) :=(g_n(x) ,g_m(x))\) .

Por \((3)\) \(, \forall x, \forall n > N , \lim_{m} \gamma_m^n(x) = (g_n(x), g(x)) (***)\)

Por \((*)\) temos \(\forall x \in X , \forall n > N , d_M( \gamma_m^n(x) ) < \epsilon \forall m > N (****)\) .

Logo , para cada \(x\) , e \(n > N\) , a sequência \(( (d_M( \gamma_m^n(x) ) )_{m}\) em \(\mathbb{R}\) é convergente (converge para zero ! ) \((*****)\) .

Usando (4) , por \((****)\) e \((*****)\) , obtemos

\(\lim_{m} d_M( \gamma_m^n(x) ) \leq \epsilon\) .

Pela continuidade da métrica \(d_M\) e por \((***)\) , uma aplicação de \((2)\) nos diz que para cada \(n > N\)

\(d_M(g_n(x), g(x)) = d_M(\lim_{m}\gamma_m^n(x) ) = \lim_{m} d_M(\gamma_m^n(x)) < \epsilon , \forall x \in X\) .

Segue dai que \(g \in B_{g_n}(X,M) \forall n > N\) . Em particular \(g \in B_f(X,M)\) , pois qualquer elemento elemento desta sequência é um elemento de \(B_f(X,M)\) ; em outras palavras , qualquer um destes elementos é também um representante para a classe de equivalência de \(f\) pela relação de equivalência \(\sim\) em \(Map(X,M)\) . Além disso, esta desigualdade estabelecida , nos garanti que a sequência \((g_n)_n\) é convergente em \((B_f(X,M) ,d_{\infty}^f)\) ( sendo \(g\) seu limite uniforme em \(X\) ) estabilizando o resultado .


Em particular ,pelo lema anterior , \(C_B(X,M)\) é completo sse \(M\) for completo ..

Intercambiando os resultados acima podemos obter
o análogo para espaços mais interessantes como espaços de Banach , variedades ...


Obrigado ...


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 Título da Pergunta: Re: C(X,M) é completo ?
MensagemEnviado: 12 jul 2016, 20:46 
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Observações :

i) A volta do item (1) vale para espaços métricos gerais . Acabei de verificar que a reciproca vale para qualquer espaço topológico primeiro contável .
Assim sendo , uma forma alternativa de demonstrar o lema 1 é estabelecer que toda sequencia em \(C(X,M) \cap B_{f} (X,M)\) convergente no espaço métrico \(B_{f}(X,M)\) converge para um elemento de \(C(X,M) \cap B_{f} (X,M)\) e por fim de (i), embora seja irrelevante para finalidade deste post , por curiosidade note também que \(C(X,M) )\) também será fechado em \(Map(X,M)\) com a topologia sugerida acima .. Tal topologia pode ser boa , se conexidade não é relevante . Pode-se verificar sem dificuldade que cada \(B_{f}(X,M)\) é fechado/aberto em \(Map(X,M)\) ..

ii) Por uma observação feita pelo meu professor , a demonstração da afirmação vide lema 2 \((**)\) pode ser BASTANTE simplificada pelo seguinte argumento :

Em virtude da sequência \((g_n)\) convergir pontualmente para \(g\) . Para cada \(x\) em \(X\) , podemos tomar \(n_x > N\) tal que \(d_M(g_{n_x}(x),g(x)) < \epsilon\) . Logo , se \(n > N\) , então

\(d_M(g_n(x), g_(x)) \leq d_M( g_n(x) , g_{n_x}(x)) + d_M(g_{n_x}(x), g(x)) \leq d_{\infty}^f(g_n,g_{n_x}) + d_M(g_{n_x}(x), g(x)) \leq \epsilon + \epsilon = 2 \epsilon\) para todo \(x \in X\) que é \((**)\) .


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