Funções crescentes, decrescentes, monótonas, pares, ímpares, derivadas no ponto, etc.
09 jan 2017, 12:17
A expressão que satisfaz f(x) + f(\(\frac{1}{1-x})\) = x, com x\(\neq\)1 é:
\(a) \frac{x^{3}-x-1}{2x(x-1)}\\\\ b) \frac{x^{3}+x+1}{2x(x-1)}\\\\ c) \frac{x^{3}-x+1}{2x(x-1)}\\\\ d) \frac{x^{3}+x-1}{2x(x+1)}\\\\ e) \frac{x^{3}-x+1}{2x(x+1)}\)
Não tenho a solução, normalmente eu substituiria x por \(\frac{1}{1-x}\) e cairia num sistema para tentar isolar f(x) mas não consegui dessa forma.
09 jan 2017, 12:42
Letra C). Pode descartar rapidamente opções erradas verificando se a relação é verdadeira para valores particulares de x. Por exemplo, quando x=3, devemos ter \(f(3) + f(-1/2) = 3\). Como a única opção que verifica esta condição é a C), esta é a única letra que pode estar certa.
Claro que isto não mostra que a letra C) está efectivamente correcta... Se quiser fazer essa verificação pode, tal como disse, calcular directamente \(f(x)+ f(\frac{1}{1-x})\) e verificar que é igual a \(x\).
09 jan 2017, 18:14
Sobolev, existe outra forma algébrica de resolução sem substituir nas alternativas? Pergunto isto, pois não seria eficiente substituir em todas alternativas até encontrar a igualdade.
Desde, já grato pela atenção.
Fazendo x = 3 na alternativa C:
\(f(3) = \frac{3^{3}-3 + 1}{2.3(3-1))} = \frac{25}{12}\\\\ f(-\frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}^{3}-(-\frac{1}{2})+1}{2.(-\frac{1}{2}).(-\frac{1}{2}-1)} = \frac{\frac{11}{8}}{\frac{3}{2}} =\frac{11}{12}\\\\
f(3)+f(-\frac{1}{2}) = \frac{25}{12}+\frac{11}{12} = \frac{36}{12}=3=x (OK)\)
Algebricamente por substituição na alternativa C:
\(Temos\ \ que\ \ demonstrar\ \ que\ \frac{x^{3}-x+1}{2x^{2}-2x}+ \frac{\frac{1}{(1-x)^{3}}-(\frac{1}{1-x})+1}{\frac{2}{^{(1-x)^{2}}}-\frac{2}{(1-x)}} =x\\\\
\frac{x^{3}-x+1}{2x^{2}-2x}+ \frac{\frac{1}{(1-x)^{3}}-(\frac{1}{1-x})+1}{\frac{2}{^{(1-x)^{2}}}-\frac{2}{(1-x)}} =\\\\
\frac{x^{3}-x+1}{2x^{2}-2x}+\frac{\frac{1-(1-x)^{2}+(1-x)^{3}}{(1-x)^{3}}}{\frac{2-2(1-x)}{(1-x){2}}}=\\\\
\frac{x^{3}-x+1}{2x^{2}-2x}+\frac{1-(1-x)^{2}+(1-x)^{3}}{(1-x)(2-2(1-x))}=\\\\
\frac{x^{3}-x+1}{2x^{2}-2x}+\frac{1-1+2x-x^{2}+1-3x+3x^{2}-x^{3}}{(1-x)(2-2+2x)}=\\\\
\frac{x^{3}-x+1}{2x^{2}-2x}+\frac{1-x+2x^{2}-x^{3}}{(1-x)(2x)}=\\\\
\frac{x^{3}-x+1}{2x^{2}-2x}+\frac{1-x+2x^{2}-x^{3}}{-2x^{2}+2x}=\\\\
\frac{-x^{3}+x-1}{-2x^{2}+2x}+\frac{1-x+2x^{2}-x^{3}}{-2x^{2}+2x}=\\\\
\frac{-x^{3}+x-1+1-x+2x^{2}-x^{3}}{-2x^{2}+2x}=\frac{-2x^{3}+2x^{2}}{-2x^{2}+2x}=\frac{2x^{2}(-x+1)}{2x(-x+1)}=x \rightarrow c.q.d\)
09 jan 2017, 23:35
A relação dada não permite identificar f sem mais restrições...Por isso, com mais ou menos contas, terá sempre que haver algum processo de eliminação.
10 jan 2017, 03:05
Sobolev, segue o método que consegui pela net(Jedi):
Primeiro fazer como eu propus inicialmente:
Substituir x por \(\frac{1}{1-x}\) e teremos a equação (II) do sistema: \(f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f\left(\frac{x-1}{x}\right)=\frac{1}{1-x}\)
Deste ponto eu não conseguia resolver o sistema pois não havia como deixar apenas f(x). A grande sacada então foi fazer uma nova substituição de x por
\(\frac{x-1}{x}\) e chegarmos a equação (III) do sistema: \(f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f(x)=\frac{x-1}{x}\)
Agora basta resolver o sistema:
\(f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=x\) (I)
\(f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f\left(\frac{x-1}{x}\right)=\frac{1}{1-x}\)(II)
\(f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f(x)=\frac{x-1}{x}\) (III)
Fazendo (I) - (II) + (III) teremos:\(2f(x)=x-\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x}\)
\(f(x)=\frac{x^2-x^3-x-x^2+2x-1}{2x(1-x)}\) =\(f(x)=\frac{x^3-x+1}{2x(x-1)}\)
LETRA C
13 jan 2017, 19:27
Fantástico!!
Porém, noutra perspetiva, encontrei um outro modo de resolução, que envolve, também uma substituição diferente da de petras.
Estou a refinar os cálculos para ver se estão certos.
Até.
13 jan 2017, 21:12
Podemos fazer os cálculos para todas as funções expostas nas alíneas, porém, como não acredito que a letra C esteja correta, proponho começar por ai.
Temos a função :
c) \(f(x) = \frac{x^3-x+1}{2*x(x-1)}\) com \(x\) diferente de \(0 ou 1\)
13 jan 2017, 22:15
Só temos que provar que :
f(x) + f(\(\frac{1}{1-x}\)) = x para todo x diferente de 1 e diferente de 0 pois contamos também com a função da alínea C).
Tal como petras propôs substituir x por \(\frac{1}{1-x}\), eu proponho substituir :
\(1 - x = a\)
ou
\(a = 1 - x\)
Deste modo temos :
f(x) = f(1-a) = \(\frac{(1-a)^3 - (1-a) + 1}{2(1-a)(1-a-1)}\) = \(\frac{1-2a +3a^2-a^3}{-2a(1-a)}\)
f(\(\frac{1}{1-x}\)) = f(\(\frac{1}{a}\)) = \(\frac{\frac{1}{a^3}-\frac{1}{a}+1}{\frac{2}{a}(\frac{1}{a}-1)}\) = \(\frac{1-a^2+a^3}{2a(1-a)}\)
\(x =1-a\)
Como pretendemos f(x) + f(\(\frac{1}{1-x}\)) = x
então,
\(\frac{1-2a +3a^2-a^3}{-2a(1-a)}\) + \(\frac{1-a^2+a^3}{2a(1-a)}\) = \(x =1-a\) <=> 0 = 0
Significa que cumpre a solução, todas as outras funções das restantes alíneas ou resulta em indeterminação A) ou resulta em valores diferentes.
Comprovar :
x = 1 - a (para todo valor de a diferente de 0 ou 1)
- para a = 2, temos x = -1, logo f(-1) = \(\frac{1}{4}\) e f(\(\frac{1}{2}\)) = \(-\frac{5}{4}\), assim \(\frac{1}{4}\)\(-\frac{5}{4}= -1\)
- para a= -1, temos x= 2, logo f(2) = \(\frac{7}{4}\) e f(-1) = \(\frac{1}{4}\), assim \(\frac{7}{4}\)\(+\frac{1}{4}\)= 2
- etc, etc
E podemos dar todos os valores que quisermos a a, que resulta sempre numa condição verdadeira.
Até.
13 jan 2017, 22:17
Afinal a resposta Letra C estava certa...engano meu em julgar o contrario!
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