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A função polinomial do segundo grau f (x)= ax² + bx + c tem como gráfico uma parábola que corta o eixo x nos pontos A (x1 , 0) e B (x2 , 0), sendo x 1 e x 2 números reais positivos e x2 > x1 . Se o vértice V dessa parábola possui ordenada igual a (x2 – x1 ), o valor de (b² – 4ac) é igual a: (R: Letra B)

A)25
B)16
C)9
D)4
E)1


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Olá Petras!!

petras Escreveu:
A função polinomial do segundo grau f (x)= ax² + bx + c tem como gráfico uma parábola que corta o eixo x nos pontos A (x1 , 0) e B (x2 , 0), sendo x 1 e x 2 números reais positivos e x2 > x1 . Se o vértice V dessa parábola possui ordenada igual a (x2 – x1 ), o valor de (b² – 4ac) é igual a: (R: Letra B)

A)25
B)16
C)9
D)4
E)1


Uma vez que \(\mathrm{x_2 > x_1 \ (com \ x_1, x_2 \in \mathbb{R}_+)}\), tiramos que: \(\boxed{\mathrm{x_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}}} \ \text{e} \ \boxed{\mathrm{x_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}}}\).

Noutro momento, segundo o enunciado, temos que: \(\mathrm{Y_v = - \frac{\Delta}{4a} = x_2 - x_1}\). Isto posto,

\(\mathrm{- \frac{\Delta}{4a} = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}}\)

\(\mathrm{- \frac{\Delta}{4a} = \frac{- b + \sqrt{\Delta} + b + \sqrt{\Delta}}{2a}}\)

\(\mathrm{- \frac{\Delta}{4a} = \frac{2\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

\(\mathrm{- \frac{\Delta}{2} = \frac{2\sqrt{\Delta}}{1}}\)

\(\mathrm{- \Delta = 4\sqrt{\Delta}}\)

Elevando ao quadrado,

\(\mathrm{(\Delta)^2 = 16\Delta}\)

\(\mathrm{\Delta^2 - 16\Delta = 0}\)

\(\mathrm{\Delta \cdot (\Delta - 16) = 0}\)

Verificando as soluções, pois trata-se de uma equação irracional, podemos notar que ambas são verdadeiras; em contrapartida, se \(\mathrm{\Delta = 0}\), então a equação possui duas raízes iguais, mas, de acordo com o enunciado, \(\mathbf{x_2 > x_1}\).

Daí, temos que \(\boxed{\boxed{\mathbf{\Delta = 16}}}\).

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Editado pela última vez por danjr5 em 03 jun 2021, 01:40, num total de 1 vez.
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Muito grato danjr5, estava tentando com a equação x1+x2/2 = -b/2a e com x1 -x2 =-∆/4a. Não me atentei em usar as raízes em função do ∆.


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MensagemEnviado: 29 jan 2017, 06:00 
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Não há de quê, meu caro!

Até!!

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