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Seja \(e^{0,5x}=5-5x\). Escolha a melhor técnica numérica para o cálculo de sua raiz. Justifique sua resposta.


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MensagemEnviado: 22 jan 2017, 21:17 
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1. Considerando \(f(x) = e^{x/2}-5+5x\), trata-se de determinar as raízes de f. Como \(f'(x) =\frac 12 e^{x/2}+5 >0\) a função é estritamente crescente, pelo que terá, no máximo, uma raiz. Por outro lado, como \(f(0.5) \times f(1) < 0\), vemos que a função tem uma raiz no intervalo [0.5; 1], que será a única solução da equação proposta.

2. Escolher a "melhor" técnica numérica é uma forma de colocar a questão que não me agrada, por carecer de rigor...Quanto muito poderia ser " a melhor de entre as que estudámos...". Pensando que no seu curso de análise numérica terá abordado o método da bisseção, da falsa posição, do ponto fixo da secante e de Newton, o método de Newton será sempre quase certamente o melhor, a não ser que a raiz tenha multiplicidade superior a um. (converge quadraticamente)

3. Tomando como aproximação inicial \(x_0 = 0.75\), o erro verificado na iteração n do método de Newton pode ser majorado por
\(|z-x_n| \leq \frac{1}{K} (K|z-x_0|)^{2^n} \leq \frac{1}{0.0365278}(0.0365278\times 0.25)^{2^n},\)

onde \(K=Max|f''|/(2 Min |f'|)\). Neste caso, bastam 3 iterações para garantir um erro na ordem de \(10^{-15}\).


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