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levantar uma indeterminação (0/0) com função exponencial
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Autor:  andino [ 16 fev 2017, 23:21 ]
Título da Pergunta:  levantar uma indeterminação (0/0) com função exponencial  [resolvida]

Agradeço ajuda para levantar a indeterminação.


\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{e^{2x-2}-1}{3-3^{x}}\)

Autor:  João P. Ferreira [ 17 fev 2017, 23:28 ]
Título da Pergunta:  Re: levantar uma indeterminação (0/0) com função exponencial

não sei se este o caminho, sei que em qualquer caso pode sempre usar a regra de l'Hôpital
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_l'H%C3%B4pital
pode usar a regra de l'Hôpital?

sem usar a dita regra, aqui vai umas dicas

\(3=e^{ln(3)}\)

então

\(3^x=\left(e^{ln(3)}\right)^x=e^{ln(3).x}=(e^x)^{ln(3)}\)

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\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{e^{2x-2}-1}{3-3^{x}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(e^{x})^2.e^{-2}-1}{3-(e^x)^{ln(3)}}\\\)

faça agora uma substituição \(e^x=y\)
quando \(x\) tende para 1, \(y\) tenderá para \(e\)

\(\lim_{y\rightarrow e}\frac{y^2.e^{-2}-1}{3-y^{ln(3)}}=-e^{-2} \lim_{y\rightarrow e}\frac{y^2-e^2}{y^{ln(3)}-3}=-e^{-2} \lim_{y\rightarrow e}\frac{(y+e)(y-e)}{y^{ln(3)}-3}=-e^{-2}\left(\lim_{y\rightarrow e}(y+e).\lim_{y\rightarrow e}\frac{y-e}{y^{ln(3)}-3} \right)=\)

\(=-e^{-2}(2e) \lim_{y\rightarrow e}\frac{y-e}{y^{ln(3)}-3\)

siga...

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