Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
Indução matemática com derivadas sucessivas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=12616 |
Página 1 de 1 |
Autor: | Xico [ 18 abr 2017, 23:16 ] |
Título da Pergunta: | Indução matemática com derivadas sucessivas |
Seja \(y = \frac{1}{x+a}\) Mostre que: \(y^{(n)} = \frac{(-1)^{n}n!}{((x+a))^{n+1})}\) , p/ todo n ∊ N |
Autor: | João P. Ferreira [ 19 abr 2017, 10:10 ] |
Título da Pergunta: | Re: Seja y = 1/x+a. Mostre que |
\(y = \frac{1}{x+a}\) recorde a regra da derivada de frações \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-v'u}{u^2}\) logo \(y^{(1)} = \frac{-1}{(x+a)^2}\) \(y^{(2)} = \frac{2(x+a)}{(x+a)^4}=\frac{2}{(x+a)^3}\) consegue avançar/entender? talvez a forma mais geral (e correta) seja usar indução matemática. \(y^{(n)} = \frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\) , p/ todo n ∊ N para n=1 \(y^{(1)} = \frac{(-1)^{1}1!}{(x+a)^{1+1}}=\frac{-1}{(x+a)^2}\) o que confirma o resultado acima O passo indutivo é mostrar que, se o enunciado vale para n=k, então o mesmo enunciado vale para n=k+1. ou seja, se \(y^{(k)} = \frac{(-1)^{k}k!}{(x+a)^{k+1}}\) é verdadeiro, implica que \(y^{(k+1)} = \frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{(x+a)^{k+1+1}}\) também seja verdadeiro. Podemos tentar desenvolver \(y^{(k+1)} = \frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{(x+a)^{k+1+1}}=\frac{(-1)^{k}(-1)(k+1).k!}{(x+a)(x+a)^{k+1}}=-\frac{k+1}{x+a}.\frac{(-1)^{k}.k!}{(x+a)^{k+1}}=-\frac{(k+1).1}{x+a}.y^{(k)}=-(k+1).y.y^{(k)}\) avance... |
Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |