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Indução matemática com derivadas sucessivas
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Autor:  Xico [ 18 abr 2017, 23:16 ]
Título da Pergunta:  Indução matemática com derivadas sucessivas

Seja \(y = \frac{1}{x+a}\)
Mostre que:

\(y^{(n)} = \frac{(-1)^{n}n!}{((x+a))^{n+1})}\) , p/ todo n ∊ N

Autor:  João P. Ferreira [ 19 abr 2017, 10:10 ]
Título da Pergunta:  Re: Seja y = 1/x+a. Mostre que

\(y = \frac{1}{x+a}\)

recorde a regra da derivada de frações

\(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-v'u}{u^2}\)

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\(y^{(1)} = \frac{-1}{(x+a)^2}\)

\(y^{(2)} = \frac{2(x+a)}{(x+a)^4}=\frac{2}{(x+a)^3}\)

consegue avançar/entender?

talvez a forma mais geral (e correta) seja usar indução matemática.

\(y^{(n)} = \frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\) , p/ todo n ∊ N

para n=1

\(y^{(1)} = \frac{(-1)^{1}1!}{(x+a)^{1+1}}=\frac{-1}{(x+a)^2}\)
o que confirma o resultado acima

O passo indutivo é mostrar que, se o enunciado vale para n=k, então o mesmo enunciado vale para n=k+1.

ou seja, se

\(y^{(k)} = \frac{(-1)^{k}k!}{(x+a)^{k+1}}\)

é verdadeiro, implica que

\(y^{(k+1)} = \frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{(x+a)^{k+1+1}}\)

também seja verdadeiro.

Podemos tentar desenvolver

\(y^{(k+1)} = \frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{(x+a)^{k+1+1}}=\frac{(-1)^{k}(-1)(k+1).k!}{(x+a)(x+a)^{k+1}}=-\frac{k+1}{x+a}.\frac{(-1)^{k}.k!}{(x+a)^{k+1}}=-\frac{(k+1).1}{x+a}.y^{(k)}=-(k+1).y.y^{(k)}\)

avance...

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