\(y = \frac{1}{x+a}\)
recorde a regra da derivada de frações
\(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-v'u}{u^2}\)
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\(y^{(1)} = \frac{-1}{(x+a)^2}\)
\(y^{(2)} = \frac{2(x+a)}{(x+a)^4}=\frac{2}{(x+a)^3}\)
consegue avançar/entender?
talvez a forma mais geral (e correta) seja usar
indução matemática.
\(y^{(n)} = \frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\) , p/ todo n ∊ N
para n=1
\(y^{(1)} = \frac{(-1)^{1}1!}{(x+a)^{1+1}}=\frac{-1}{(x+a)^2}\)
o que confirma o resultado acima
O passo indutivo é mostrar que, se o enunciado vale para n=k, então o mesmo enunciado vale para n=k+1.
ou seja, se
\(y^{(k)} = \frac{(-1)^{k}k!}{(x+a)^{k+1}}\)
é verdadeiro, implica que
\(y^{(k+1)} = \frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{(x+a)^{k+1+1}}\)
também seja verdadeiro.
Podemos tentar desenvolver
\(y^{(k+1)} = \frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{(x+a)^{k+1+1}}=\frac{(-1)^{k}(-1)(k+1).k!}{(x+a)(x+a)^{k+1}}=-\frac{k+1}{x+a}.\frac{(-1)^{k}.k!}{(x+a)^{k+1}}=-\frac{(k+1).1}{x+a}.y^{(k)}=-(k+1).y.y^{(k)}\)
avance...