Zeros da função - f(x)=x^8+x^2-1

[silvanuno11]

Boa noite,

Estou um bocado baralhado, porque só vejo esta situação nas funções quadráticas, e isto até deve ser simples,
mas desculpem a pergunta:

Como posso provar que a função f(x) = x^8 + x^2 -1 tem dois e somente dois zeros em R


Obrigado
NSilva

[João P. Ferreira]

Vamos derivar a função meu caro

\(f(x)=x^8+x^2-1\)

\(\frac{df(x)}{dx}=8x^7+2x\)

Vamos achar os extremos da função igualando a derivada a zeros

\(\frac{df(x)}{dx}=0\)

\(8x^7+2x=0\)

\(2x(4x^6+1)=0\)

\(2x=0 \vee x=\sqrt[6]{-\frac{1}{4}}\)

A única solução de \(f'(x)=0\) é então \(x=0\)

Ora \(f(0)=-1\)

Repare ainda que \(\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty\)

Como a função é contínua (polinómio), como é positiva quando x tende para mais ou menos infinito, como é negativa em x=0, e como a função só tem um extremo (em x=0), deduz-se que terá obrigatoriamente dois zeros, um positivo e um negativo